उत तर:
#3#
स पष ट करण:
चल
# एक स = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … ऊ #
जह हम अपन सम ध न क सक र त मक ह न क ल ए व वश करत ह क य क हम क वल सक र त मक वर गम ल ल रह ह अर थ त । #x> = 0 #। द न पक ष क प स हम र प स ह
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … ऊ #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … ऊ #
जह इस ब र हम ब ए ह थ क सक र त मक ह न क ल ए व वश करत ह, क य क हम क वल सक र त मक वर गम ल च हत ह य न ।
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
जह हमन स भ वन क सम प त कर द य ह #x <= - sqrt (7) # हम र पहल ब ध क उपय ग करन ।
फ र स द न पक ष क प स हम र प स ह
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. ऊ #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. ऊ #
द हर य वर ग जड म अभ व यक त क ल ए म ल अभ व यक त ह #एक स#, इसल ए
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
य
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
इस सम करण क पर क षण सम ध न ह # एक स = -2 # तथ # एक स = + 3 # ज सक पर ण मस वर प न म नल ख त क रक ह त ह
# (X + 2) (एक स 3) (x ^ 2 + एक स 7) = 0 #
त सर क रक पर द व घ त स त र क उपय ग करन # (एक स ^ 2 + एक स 7) = 0 # हम द और म ल द त ह:
# - - 1 + -sqrt (29) / 2 ~ = 2.19 "और" -3.19 #
बह पद क च र जड ह #-3.19…, -2, 2.19…, # तथ #3#। इनम स क वल एक म ल य हम र अवर ध क स त ष ट करत ह #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, इसल ए
# एक स = 3 #
उत तर:
द सर र स त
स पष ट करण:
म न म नल ख त ज स ब र-ब र वर गम ल क समस य पर एक नज र म सम ध न करन क ल ए एक ट र क तर क पर चर च करन पस द करत ह
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt) (r-sqrt (r + sqrt) (r-sqrt (r + sqrt) (r + …….. oo #
कह प # r # न म नल ख त श र खल क अ तर गत आत ह
#3,7,13,21,31…………#ज सक स म न य शब द द व र द य गय ह
# M ^ 2-म टर + 1 # कह प # m एप स ल न N # तथ # म > 1 #
छल
यद द ए गए न बर स 1 घट य ज त ह # M ^ 2-म टर + 1 # पर ण म स ख य बन ज त ह # M ^ 2-म टर # ज ह # म नट ब द (एम-1) # और ज क छ भ नह ह, ल क न लग त र द क स ख य और इन द न म स एक बड उत प द समस य क अन ठ सम ध न ह ग ।
जब आर = # M ^ 2-म टर + 1 # क क रक # M ^ 2-म टर + 1-1 # = # (एम-1) म टर # और म जव ब ह
जब r = 3 क क रक (3-1) = 2 = 1.2 और 2 क उत तर ह
जब r = 7 क क रक (7-1) = 6 = 2.3 और 3 उत तर ह
और इस तरह…….
व य ख य
ल रह
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt) (r-sqrt (r + sqrt) (r-sqrt (r + sqrt) (r + …….. oo #
द न पक ष म म रप ट
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt) (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt) (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
फ र स द न पक ष क च कत कर
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt) (r-sqrt (r + sqrt) (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
आर लग न = # M ^ 2-म टर + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
अगर हम इस सम करण क LHS म x = m ड लत ह त LHS बन ज त ह
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (रद द कर (m ^ 2) - रद द कर (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (एम-1)) ^ 2 (एम-1) ^ 2 = 0 #
सम करण स त ष ट ह ।
इसल ए म उत तर ह
चल रख
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt) (7-sqrt …. #)
हम आस न स द ख सकत ह
#sqrt (7 + sqrt (7-एक स)) = एक स #
त चल सम करण क हल करत ह:
# 7 + sqrt (7-x) = एक स 2 ^ #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-एक स = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
यह हल करन क ल ए एक त च छ सम करण नह ह । प रश न क उत तर द न व ल अन य व यक त य म स एक न सम ध न 3 क स दर भ त क य । यद आप इस आज म त ह, त आप द ख ग क यह सच ह ।
