उत तर:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | एक स 3 | -1 / 561 (79 / 2ln (एक स ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + स #
स पष ट करण:
च क भ जक पहल स ह फ क टर ह, इसल ए हम स थ ई अ श क हल करन क जर रत ह ।
# (3x ^ 2-x) / ((एक स ^ 2 + 2) (एक स 3) (x-7)) = (क ल ह ड + ब) / (एक स ^ 2 + 2) + स / (एक स 3) + ड / (एक स 7) #
ध य न द क हम द न क आवश यकत ह #एक स# और ब ई ओर अध क श अ श पर एक स थ र पद क य क अ श हम श हर क त लन म 1 ड ग र कम ह त ह ।
हम ब ए ह थ क हर क म ध यम स ग ण कर सकत ह, ल क न यह क म क एक बड र श ह ग, इसल ए हम इसक बज य स म र ट ह सकत ह और कवर-अप व ध क उपय ग कर सकत ह ।
म इस प रक र य पर व स त र स नह ज ऊ ग, ल क न अन व र य र प स हम ज करत ह वह पत लग त ह क हर क बर बर श न य (म मल म) #स # यह ह # एक स = 3 #), और इस ब ए ह थ क ओर ख सक ए और म ल य कन करत ह ए क रक क स थ र करत ह ए न र तरत प रद न कर:
# स = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (प ठ (////)) (3-7)) = - 6/11 #
हम उस क ल ए कर सकत ह # ड #:
# ड = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (प ठ (////))) = 35/51 #
कवर-अप व ध क वल र ख क क रक क ल ए क म करत ह, इसल ए हम इस हल करन क ल ए मजब र ह #ए# तथ # ब # प र पर क व ध क उपय ग करन और ब ए ह थ क भ जक स ग ण करन:
# 3x ^ 2-एक स = (क ल ह ड + ब) (एक स 3) (x-7) -6/11 (एक स ^ 2 + 2) (एक स-7) +35/51 (एक स ^ 2 + 2) (एक स 3) #
यद हम सभ क ष ठक क म ध यम स ग ण करत ह और व भ न न क सभ ग ण क क सम न करत ह #एक स# और न र तर शब द, हम क म ल य क पत लग सकत ह #ए# तथ # ब #। यह एक ल ब ल ब गणन ह, इसल ए म स र फ एक ल क छ ड द ग ज क ई भ इच छ क ह:
यह क ल क कर
# एक = -79/561 #
# ब = -94/561 #
इसस पत चलत ह क हम र अभ न न अ ग ह:
#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #
पहल द क हल क य ज सकत ह, ज हर क सरल य -प रत स थ पन क उपय ग करक क य ज त ह:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #
हम श ष अभ न न क द म व भ ज त कर सकत ह:
#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^) 2 + 2) dx #
म ल फ ट वन इ ट ग रल 1 और र इट वन इ ट ग रल 2 कह ग ।
अभ न न १
इस इ ट ग रल क हम य -प रत स थ पन क द व र हल कर सकत ह # य = एक स ^ 2 + 2 #। व य त पन न ह # 2x #, इसल ए हम व भ ज त करत ह # 2x # क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #:
# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int रद द (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u + + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + स #
अभ न न २
हम इस इ ट ग रल क फ र म म ल न च हत ह # तन ^ -1 #:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
अगर हम एक प रत स थ पन क स थ पर चय # एक स = sqrt2u #, हम अपन अभ न न क इस र प म बदलन म सक षम ह ग । क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #, हम ग ण करन ह ग # Sqrt2 # (च क हमन सम म न क स थ व य त पन न ल य # य # क बज य #एक स#):
# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #
# = 47sqrt2tan ^ -1 (य) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (एक स / sqrt2) + स #
म ल अभ न न क प र करन
अब हम ज नत ह क इ ट ग रल 1 और इ ट ग रल 2 क सक बर बर ह, हम अपन अ त म उत तर प न क ल ए म ल इ ट ग रल क प र कर सकत ह:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | एक स 3 | -1 / 561 (79 / 2ln (एक स ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + स #
