उत तर:
क पय स पष ट करण न च द ख
स पष ट करण:
सम र ह ह
#F (एक स, व ई) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y 4 #
आ श क ड र व ट व ह
# (ख ई) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (ख ई) / (dely) = 2y + x-3 #
चल # (ख ई) / (delx) = 0 # तथ # (ख ई) / (dely) = 0 #
फ र, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (ड ल ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (ड ल ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
ह स यन म ट र क स ह
#Hf (एक स, व ई) = (((ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2), (ड ल ^ 2f) / (delxdely)), ((ड ल ^ 2f) / (delydelx), (ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
न र ध रक ह
#D (एक स, व ई) = det (एच (एक स, व ई)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
इसल ए, क ई क ठ अ क नह ह ।
#D (1,1)> 0 # तथ # (ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, वह एक स थ न य न य नतम ह #(-3,3)#
उत तर:
स थ न य न य नतम: #(-3,3)#
स पष ट करण:
ब द ओ क सम ह ज सम एक सट रम और क ठ अ क द न श म ल ह, जब द न म लत ह # (ख ई) / (delx) (एक स, व ई) # तथ # (ख ई) / (dely) (एक स, व ई) # श न य क बर बर ह ।
यह म नत ह ए #एक स# तथ # Y # स वत त र चर ह:
# (ख ई) / (delx) (एक स, व ई) = 2x + y + 3 #
# (ख ई) / (dely) (एक स, व ई) = x + 2y -3 #
इसल ए हम र प स द समक ल क सम करण ह, ज ख श स र ख क ह त ह:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y -3 = 0 #
पहल स:
# Y = -2x -3 #
द सर म प रत स थ प त:
# X + 2 (-2x -3) -3 = 0 #
# एक स 4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# एक स = -3 #
पहल म व पस ज ए:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
त एक ब द ह जह पहल व य त पन न सम न र प स श न य ह ज त ह, य त एक चरम य क ठ, पर # (एक स, व ई) = (- 3,3) #.
ज स घट न क ल ए, हम द सर ड र व ट व स, ह स यन म ट र क स (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix) क म ट र क स क गणन करन च ह ए:
# (((ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2), (ड ल ^ 2f) / (delxdely)), ((ड ल ^ 2f) / (delydelx), (ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (ड ल ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (ड ल ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
इस प रक र
# (((ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2), (ड ल ^ 2f) / (delxdely)), ((ड ल ^ 2f) / (delydelx), (ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
सभ द सर आद श व य त पन न सम न र प स स थ र ह ज भ म न ह #एक स# तथ # Y #, इसल ए हम व श ष र प स ब य ज क ब द क ल ए म ल य क गणन करन क आवश यकत नह ह ।
एनब लग त र द सर ड र व ट व (क ल र ल ट क प रम य, यह आव दन: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_deratives) क स थ क र य क ल ए भ दभ व क क रम म यन नह रखत ह, और इसल ए उम म द करत ह क # (ड ल ^ 2f) / (delxdely) = (ड ल ^ 2f) / (delydelx) #, ज स क हम ऊपर अपन व श ष ट पर ण म म द खत ह ।
इस द -चर म मल म, हम ह स यन क न र ध रक स ब द क प रक र क घट सकत ह, # (ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2) (ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2) - (ड ल ^ 2f) / (delxdely) (ड ल ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
पर क षण करन क एक र प यह द य गय ह:
हम द खत ह क न र ध रक ह #>0#, और ऐस ह # (ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2) #। त हम यह न ष कर ष न क लत ह #(-3,3)#श न य पहल व य त पन न क एकम त र ब द, फ क शन क एक स थ न य न य नतम ह ।
एक आय म फ क शन प रश न क ल ए एक पव त रत ज च क र प म, म आमत र पर इसक ग र फ प स ट करत ह, ल क न स कर त म द -आय म क र य क ल ए उपय क त सतह य सम च च स ज श क स व ध नह ह, जह तक म द ख सकत ह । त म द क र य क पलट द ग #F (-3, व ई) # तथ #F (एक स, 3) #, ज हम र ल ए प र फ क शन ड म न क व श षत नह रखत ह, ल क न हम उन द न क ब च न य नतम द ख ए ग, ज अप क ष क अन स र द ख ई द त ह # Y = 3 # तथ # एक स = -3 #, सम न फ क शन म न ल रह ह # च = -5 # प रत य क म मल म ।
ज स #F (एक स, व ई) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y 4 #
#F (-3, y) = y ^ 2-6y 4 #
#F (एक स, 3) = एक स ^ 2 + 6x 4 #
ग र फ {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
