उत तर:
एकम त र चरम स म ह # एक स = ०.९०३२२ … #, एक सम र ह न य नतम
ल क न आपक वह पह चन क ल ए एक घन सम करण क हल करन ह ग और इसक उत तर ब ल क ल भ अच छ नह ह ग - क य आप स न श च त ह क प रश न सह प रक र स ट इप क य गय ह ? म न न च प र तरह स द ख ए गए व श ल षण क म त र म ज न क ब न उत तर क द ष ट क ण क ल ए स झ व भ श म ल क ए ह ।
स पष ट करण:
1. म नक द ष ट क ण हम श रमस ध य द श म इ ग त करत ह
सबस पहल व य त पन न क गणन कर:
#F (x) = (4x -3) ^ 2 (एक स 4) / एक स #
इसल ए (श र खल और भ गफल न यम द व र)
#F '(x) = 4 * 2 (4x -3) - (x- (एक स 4)) / एक स ^ 2 = 32x-24-4 / एक स ^ 2 #
फ र इस 0 क बर बर स ट कर और हल कर #एक स#:
# 32x-24-4 / एक स ^ 2 = 0 #
# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #
# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #
हम र प स एक घन सम करण ह, ज कट टरप थ द व र हल क य ज सकत ह, ल क न यह एक आस न प रक र य स द र ह । हम ज नत ह क इस सम करण क स म न य त र पर त न जड ह ग, ल क न ऐस नह ह क व सभ व स तव क ह ग, ह ल क उनम स कम स कम एक ह ग - क कम स कम एक ह ग ज स हम मध यवर त म ल य प रम य - http: // en स ज नत ह । wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - ज हम बत त ह क क य क फ क शन एक छ र पर अन त और द सर म म इनस इनफ न ट ज त ह, त उस एक य द सर ब द पर सभ म न ल न च ह ए।
क छ सरल म न (1 अक सर क श श करन क ल ए एक स चन त मक और त वर त म ल य) क क श श करत ह ए, हम द खत ह क 1/2 और 1 क ब च कह एक जड ह, ल क न हम सम करण क सरल बन न क ल ए क ई स पष ट सम ध न नह ढ ढत ह । एक घन सम करण क हल करन एक ल ब और थक ऊ प रक र य ह (ज हम न च कर ग), इसल ए ऐस करन स पहल क स क अ तर ज ञ न क स च त करन क क श श करन ल यक ह । आग क सम ध न क क श श करत ह ए, हम प त ह क यह 0.9 और 0.91 क ब च ह ।
2. एक सरल क त समस य क हल कर
फ क शन म द शब द क अ तर ह त ह, # F_1 (x) = (4x -3) 2 ^ # तथ # F_2 (x) = (एक स 4) / एक स #। क स म क ल ए #एक स#इनम स पहल ब हद प रभ व ह ग, क य क द सर क र यक ल सभ म ल य क ल ए 1 क कर ब ह ग #एक स# छ ट म ल य स द र। आइए हम प छ क द अलग-अलग शब द क स व यवह र करत ह ।
पहल क र यक ल, # F_1 #
# F_1 (x) = (4x -3) 2 ^ #
# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x -3) = 8 (4x -3) #
इस श न य क बर बर स ट कर: # एक स = 3/4 #। यह उस फ क शन क श न य क क ष त र म ह ज हमन प य थ, ल क न यह इसक बह त कर ब नह ह ।
#F (1) # म एक परवल ह #एक स#, ज छ त ह #एक स# अक ष पर # एक स = 3/4 #। इसक व य त पत त क रम क 32 क एक स ध स ध र ख ह ज एक ह ब द पर x- अक ष क प र करत ह ।
द सर प र, # F_2 #
# F_2 (x) = (एक स 4) / एक स = 1-4 / एक स #
# F_2 ^ '(x) = 4 / एक स 2 ^ #
इस श न य क बर बर स ट कर: इसम क ई सम ध न नह ह #एक स#। इसल ए # F_2 # अपन आप म एक सम र ह क र प म क ई व ल पन नह ह । ह ल क इसम एक ब द ह त ह ज स पर यह अन त तक उड त ह: # X = 0 #। यह नक र त मक अन त तक ज त ह क य क यह नक र त मक पक ष स 0 तक पह चत ह, और नक र त मक अन त क र प म यह सक र त मक पक ष स 0 क कर ब पह चत ह । इस ब द स द र, वक र द न तरफ म ल य 1 पर ज त ह । # F_2 # एक ह इपरब ल पर क द र त ह # (एक स, व ई) = (0,1) #। नक र त मक और सक र त मक क ल ए इसक व य त पत त द ट कड म एक वक र ह #एक स#। यह द न द श ओ स सक र त मक अन त तक ज त ह # X = 0 # और हम श सक र त मक ह ।
ध य न द क # F_1 ^ '(x) <0 # सबक ल ए #x <0 #। क क ई च र ह नह ह सकत # F_1 ^ '# तथ # F_2 ^ '# नक र त मक पर #एक स# एक स स। सक र त मक पर #एक स# अक ष वह ब ल क ल एक च र ह ह न च ह ए - एक वक र 0 स कम स अन त तक ज त ह #एक स# वह करत ह, जबक अन य अनन तत स 0. तक ज त ह । मध यवर त म ल य प रम य क एक आव दन क द व र (ऊपर द ख) उन ह एक ब र ब ल क ल ठ क ह न च ह ए।
इसल ए अब हम न श च त ह क हम क वल एक सम ध न क तल श कर रह ह, ल क न हम र प स इसक ल ए एक अच छ जव ब नह ह ।
3. स ख य त मक र प स उत तर क अन म न लग ए
इस प रक र क समस य ओ क सम ध न क ल ए आवश यक प श वर स थ त य म, जह आप क प र प त करन क आवश यकत ह त ह, वह एक त वर त अ द ज लग न क ल ए अक सर सबस त ज तर क ह । एक सम र ह क जड क ख जन क ल ए एक बह त अच छ न य टन-रफसन व ध (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method) ह ।
ज ह: एक फ क शन क जड क ख जन क ल ए # च #, पहल एक अन म न लग ओ # X_0 # एक र ट पर, और फ र इस फ र म ल क अन स र ग ल-ग ल घ मन:
# X_1 = x_0-च (x_0) / (च '(x_0)) #
# X_1 # स ब हतर अन म न ह # X_0 #, और एक बस इस द हर त ह जब तक व छ त पर श द धत तक नह पह च ज त ह ।
हम र क र य और इसक व य त पन न क य द कर:
#F (x) = (4x -3) ^ 2 (एक स 4) / एक स #
#F '(x) = 8 (4x -3) -4 / एक स ^ 2 #
इसल ए हम 0.5 क अपन जड बन सकत ह # X_0 = 0.5 #, #F (x_0) = 8 #, #F '(x_0) = - 24 #। इस प रक र # F_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, व स तव म एक कर ब जव ब। द हर न स हम ऊपर वर ण त लगभग 0.9 क म ल य पर ल य ज त ह ।
इसल ए हम मनम न ढ ग स सट कत क स थ उत तर प सकत ह, ल क न प र ण उत तर क ल ए एक व श ल षण त मक सम ध न क आवश यकत ह त ह, ऐस क छ ज हमन ऊपर उल ल ख क य ह वह कठ न ह ग । त अब हम श र कर …
4. प र समस य क हल कर, ध र -ध र और दर द स
अब चल प र घन सम ध न करत ह (आप इस ठ क स हल करन क ल ए ब जगण त स प य र करन ज रह ह):
पहल, व भ ज त करन क ल ए अग रण शब द क ग ण क 1 ह :
# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #
# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #
द सर, चर क ल ए न म न प रत स थ पन कर # Y # हट न क ल ए # X ^ 2 # अवध:
व कल प # एक स = y + 1/4 #। अध क आम त र पर, फ र म क एक सम करण क ल ए # क ल ह ड ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, एक स थ न पन न ह ग # एक स = y-ब / (3a) #। यद आप ब जगण त क म ध यम स क म करत ह, त आप द ख ग क यह हम श क रण बनत ह # X ^ 2 # पद ल प त ह न । इस म मल म हम प र प त करत ह:
# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #
# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #
(क ष ठक क व स त र कर, द व पद प रम य क य द करत ह ए:
# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #
(ध य न द क द न # Y ^ 2 # शर त ब ल क ल रद द)
# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #
अब हम र प स उतन ह शर त ह ज तन हमन पहल क थ, क य क हम र प स पहल नह थ # Y # अवध । ह रन # Y ^ 2 # शब द एक गण त य ल भ ह, व द कर !
त सर, एक और प रत स थ पन (Vieta क प रत स थ पन: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) इस एक द व घ त म बदलन क ल ए कर:
व कल प # Y = w + 1 / (16W) #। अध क आम त र पर, फ र म क एक सम करण क ल ए # Y ^ 3 + py = q #, यह प रत स थ पन ह # Y = डब ल य -प / (3w) #.
# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #
# (W + 1 / (16W)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16W)) = 5/32 #
# W ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16W -3 / 256w = 5/32 #
(ध य न द क द न # डब ल य # तथ # 1 / डब ल य # शर त ब ल क ल रद द)
# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #
# W ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #
(अब, आप अच छ तरह स प छ सकत ह क इसक प थ व पर क य ल भ ह - हमन अपन ड ग र 3 सम करण क स थ फ ड क य ह जब तक क हम र प स ड ग र 6 सम करण नह ह, न श च त र प स एक न कस न ह … ल क न अब हम इस द व घ त सम करण क र प म स च सकत ह म # W ^ 3 #, और हम द व घ त सम करण क हल कर सकत ह …)
च थ, क ल ए द व घ त सम करण क हल कर # W ^ 3 #
# W ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #
# (डब ल य ^ 3) ^ 2-5 / 32 + 1/4096 = 0 # (^ 3 डब ल य)
द व घ त सम करण क उपय ग करन:
# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #
# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #
# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2 वर ग / 6) / 1 #
हम र प स एक जव ब ह ! अब हम इस अपन म ल चर स व पस स ब ध त करन ह ग #एक स#.
प चव, हम र म ल शर त म पर वर त त कर
# w ^ 3 = (5 + -2 वर ग (6)) / 64 #
घनम ल ल:
#w = (5 + -2 वर ग (6)) / 64 ^ (1/3) #
#w = (5 + -2 वर ग (6) ^ (1/3)) / 4 #
य द ह क हम क स स ब ध त ह # Y # स व म र # डब ल य # पहल: # Y = w + 1 / (16W) #
#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #
अभ व # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #
# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #
# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #
# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 4 * 6 ^ (1/3)) #
# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #
(स कर त क म इनस-प लस-म इनस क व पर त क प शकश नह लगत ह, इसल ए हम इस इस तरह ल खन ह ग)
इस प रक र
#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #
यद हम द सर बड शब द म म इनस स इन क बढ त ह, त हम द ख सकत ह क हम द सम न भ व प र प त करत ह, इसल ए हम द व घ त प लस / म इनस स क त छ ड सकत ह, और सरल कर सकत ह
# Y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #
अ त म !) य द रख क हम स ट करत ह # एक स = y + 1/4 #.
इस प रक र
# X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #
छठ, घट ओ क इनम स क तन जड असल ह
घन जड म द भ व म प रत य क म एक व स तव क म ल और द स य ग म क ल पन क जड ह त ह । एक व स तव क स ख य #ए# त न घन म ल ह # एक ^ (1/3) #, # एक ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# एक ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #। अब हम ज नत ह क घन जड क अ दर द न भ व धन त मक (न ट स) ह # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), और इसल ए द सर और त सर म ल य म क ल पन क घटक #एक स# श न य नह कर सकत ।
न ष कर ष
इसल ए इसक ल ए क वल एक व स तव क जड ह #एक स# (ज स क हमन एक सरल व श ल षण स बह त ऊपर न ष कर ष न क ल ह), और इसल ए आप ज स वक र क ब र म प छ रह ह, उस अभ व यक त पर द गई क वल एक स थ न य अत
# X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #
य दशमलव म
# एक स = ०.९०३२२ … #
हम यह कह सकत ह क यह इस तथ य स कम स कम एक फ क शन ह क क वल एक चरम ह और फ क शन द न स र पर सक र त मक अन त तक ज त ह ।
