F (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2 क स थ न य अध कतम और म न म क य ह ?

उत तर:

#F (x) = x ^ 2 / {(एक स 2) ^ 2 #

इस सम र ह म एक ऊर ध व धर स पर श न म ख ह # X = 2 #, द ष ट क ण #1# ऊपर स x ज स ज त ह # + + # (क ष त ज स पर श न म ख) और द ष ट क ण #1# न च स x ज स ज त ह # -oo #। सभ व य त पन न अपर भ ष त ह # X = 2 # भ । वह एक स थ न य म न म ह # X = 0 #, # Y = 0 # (म ल क ल ए सभ पर श न !)

ध य न द क आप म र गण त क ज च करन च हत ह, यह तक क हम म स सबस अच छ अज ब नक र त मक स क त छ ड सकत ह और यह एक ल ब सव ल ह ।

स पष ट करण:

#F (x) = x ^ 2 / {(एक स 2) ^ 2 #

इस सम र ह म एक ऊर ध व धर स पर श न म ख ह # X = 2 #, क य क हर तब श न य ह त ह # X = 2 #.

यह द ष ट क ण #1# ऊपर स x ज स ज त ह # + + # (क ष त ज स पर श न म ख) और द ष ट क ण #1# न च स x क र प म ज त ह # -oo #, क य क बड म ल य क ल ए # X ^ 2 ~ = (एक स 2) ^ 2 # स थ म # X ^ 2> (एक स 2) ^ 2 # क ल य #x> 0 # तथ # X ^ 2 <(एक स 2) ^ 2 # क ल य #x <0 #.

अध कतम / म नट ख जन क ल ए हम पहल और द सर ड र व ट व क आवश यकत ह ।

{{d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ ^} # भ गवत न यम क प रय ग कर !

{{df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

शक त य क ल ए न यम और हम प र प त ह न व ल श र खल न यम क उपय ग करन:

{{d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / ((x-2) ^ 4 #.

हम अब थ ड स फ …

{{d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / ((x-2) ^ 4 #

{{d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / ((x-2) ^ 4 #

{{d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

अब द सर व य त पन न, पहल क तरह क गई।

{{d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx (x) -2) ^ 4))} / (एक स 2) ^ 8 #

{{d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (एक स 2) ^ 8 #

{{d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (एक स 2) ^ 8 #

यह बदस रत ह, ल क न हम क वल उस स थ न पर प लग और न ट करन ह जह यह ब र तरह स व यवह र क य गय ह ।

{{d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # यह फ क शन अपर भ ष त ह # X = 2 #, क asymptote, ल क न हर जगह ठ क द खत ह ।

हम ज नन च हत ह क अध कतम / म नट थ …

हम न ठ क क य {{d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # यह श न य ह जब अ श श न य ह और यद भ जक नह ह ।

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # य # 4x (2-x) = 0 # यह श न य पर ह # X = 0 # तथ # X = 2 #, ल क न हम र प स अध कतम / म नट नह ह सकत थ व य त पन न / फ क शन अपर भ ष त ह, इसल ए एकम त र स भ वन ह # X = 0 #.

"द सर व य त पन न पर क षण"

अब हम द सर व य त पन न क द खत ह, यह बदस रत ह …

{{d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (एक स 2) ^ 8 #

सम र ह और पहल व य त पन न क तरह यह अपर भ ष त ह # X = 2 #, ल क न हर जगह ठ क द खत ह ।

हम प लग करत ह # X = 0 # म {{d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

{{d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, यह प लग करन क ल ए इतन स दर स ख य श न य नह ह ?

#=128/256# उस सब क ल ए #1/2#

#1/2 >0# इसल ए # X = 0 # एक स थ न य म न म ह ।

Y म न क ख जन क ल ए हम इस फ क शन म प लग करन ह ग ।

#F (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # म ल!