HatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L स ब त करन क ल ए a और b) क उपय ग कर ?

ज क छ भ आप वह कह रह ह, वह सब ऐस लगत ह क हम ऐस करन व ल ह #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // #) #। लगत ह क ज स जगह स आपक यह प रश न म ल ह, उसक पर भ ष क ब र म उलझन म ह # HatT_L #.

हम अ त म स ब त कर द ग क उपय ग करन

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

द त ह

# # ह ट, ह क स - = ihatp_x // hat, ह क स = 1 #

तथ नह #hatT_L = e ^ (- LhatD) #। यद हम च हत ह क सब क छ स स गत ह, त यद #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, यह त ह ग ह # ह ट, ह टक स = ब ब (-1) #। म न सव ल तय कर ल य ह और पहल ह पत कर ल य ह ।

भ ग 1 स, हमन द ख य थ क इस पर भ ष क ल ए (क #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# Hatx, hatT_L = -LTT_L #.

जबस # एफ (x_0 - एल) # क एक स वद श ह # HatT_L #त त क ल क र प ज मन म आत ह वह एक घ त क ऑपर टर ह # ई ^ (LhatD) #। हमन उस इ ट इट क य #hatD = + ihatp_x // i #, और हम द ख ए ग क यह सच ह ।

य द रख क भ ग 1 म द ख ए गए प रम ण म, हमन ल ख थ:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LTT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

और यह वह जगह ह जह हम इसक उपय ग करन ह ग । हम बस इतन करन ह ट लर क व स त र घ त क ऑपर टर और द ख त ह क उपर क त प रम ण अभ भ ह ।

यह भ यह प रक श व स त र स द ख य गय ह । म इस और अध क प र तरह स व स त र त …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n! hatD) ^ n #

वह द # एल # एक स थ र ह, हम कम य ट टर स ब हर कर सकत ह । # Hatx # स चक क-न र भर नह ह न म ज सकत ह । इसल ए:

# (ह क स, ई ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {/ / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

अब, हमन यह प रस त व त क य ह #hatD = ihatp_x // D #, और यह समझ म आएग क य क हम ज नत ह क:

# (ह क स, ह ट_एक स एफ (x) = -iℏx (df) / (dx) + ixd / (dx) (xf (x)) #

# = रद द कर (-iℏx (df) / (dx) + i (x (df) / (dx)) + i)f (x) #

त क # # ह क स, hatp_x = i hat #। इसक मतलब ह ग क जब तक #hatT_L = e ^ (LhatD) #, हम अ त म समस य क द न ह स स म एक पर भ ष पर भ ष प र प त कर सकत ह और प र प त कर सकत ह:

# र ग (न ल) (ह ट "," ह टक स) = (ihatp_x) / (x), ह क स #

# = - (hatp_x) / (i,), ह क स = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-i color = र ग (न ल) (1) #

इसस हम कम य ट टर क और व स त र करत ह:

# # ह क स, ई ^ (ihatp_xL //) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) ह क स, (ihatp_x) / (ℏ)) ^ n! } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (((iL) / (n)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

अब, हम ज नत ह # Hatx, hatp_x #, ल क न जर र नह # # ह क स, hatp_x ^ n #। आप ख द क समझ सकत ह

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

और वह

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-आईℏ) ड / (ड एक स) ^ एन = (-आई ^) ^ एन (ड ^ एन) / (ड एक स ^ एन) #

त क:

# # hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-i d) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) # #

# = (-i =) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-i () ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1)) च) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-i =) ^ n {रद द (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - रद द कर (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) च) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-i =) ^ (n-1) (- i () (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

# = i nn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

हम पहच नत ह # hatp_x ^ (n-1) = (-i ^) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #। इस प रक र,

# # hatx, hatp_x ^ n = ihatnhatp_x ^ (n-1) #, प रद न क गई # एन> = 1 #.

इसस हम प त ह:

# "ह क स", "ई ^ (ihatp_xL //) = य ग_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (एल ^ एन) ह टक स, (ihatp_x / / / ())) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / ((ℏ)) ^ n ihatnhatp_x ^ (n-1)} #

यद आप म ल य कन करत ह # एन = 0 # टर म, आपक यह द खन च ह ए क यह श न य ह ज त ह, इसल ए हमन इस छ ड द य । आग बढ त ह ए, हम र प स:

# = i (sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (n)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = i (sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / (((n-1)!) ((iL) / L) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) #

यह हम क वल इस प रक र क प रदर शन करन क क श श कर रह ह ज स क घ त य क र य।

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)! # #

(सम ह क शर त)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / n) ^ (n-1) / ((n-1)! # #

(ब हर क म ल य कन)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / L) ^ (n) / (n!) ^ ^ (E ^ (ihatp_xL (ℏ)) #!

(अगर # उपलब ध नह # श न य पर श र ह त ह, # (N-1) #व क र यक ल बन ज त ह # उपलब ध नह #व क र यक ल।)

पर ण मस वर प, हम अ तत प र प त करत ह:

# => र ग (न ल) (ह टक स "," ई ^ (ihatp_xL // ℏ)) = = - ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = र ग (न ल) (- LhatT_L) #

और हम फ र स म ल कम य ट टर पर व पस ज त ह , य न क

# ह क स, ह ट__ = -ल ट_उल ट र ग (न ल) (वर गर ट "") #

अ त म, आइए द ख त ह # # hatT_L, hatD = 0 #.

# HatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatU #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n) !)) #

इस स पष ट र प स ल खत ह ए, हम तब इस द ख सकत ह:

# = र ग (न ल) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0 / / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD + । । - हट ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ह ट ((LhatD) ^ 1) / (1!) +। । । #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ ^ 1) / (1!) +। । । #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +। । । #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +। । । #

# = र ग (न ल) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

और तब स # HatD # हम श ख द क स थ, # # ह ट ^ एन, ह ट = 0 # और इस ल ए,

# # hatT_L, hatD = 0 # #color (न ल) (sqrt "") #