उत तर:
#E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ ऊ (-2) ^ n / (एन!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #
स पष ट करण:
एक ट लर श र खल क म मल च र ओर फ ल गय #0# क म क ल र न श र खल कह ज त ह । म कल र न श र खल क स म न य स त र ह:
#F (x) = sum_ (n = 0) ^ द लत ^ n (0) / (एन!) x ^ n #
हम र फ क शन क ल ए एक श र खल बन न क ल ए हम एक फ क शन क स थ श र कर सकत ह # ई ^ x # और फ र उस स त र क उपय ग करन क ल ए एक स त र क पत लग ए #E ^ (- 2x) #.
Maclaurin श र खल क न र म ण क ल ए, हम nth व य त पन न क पत लग न क आवश यकत ह # ई ^ x #। यद हम क छ व य त पन न ल त ह, त हम बह त जल द एक प टर न द ख सकत ह:
#F (x) = ई ^ x #
#F '(x) = ई ^ x #
#F '' (x) = ई ^ x #
व स तव म, nth व य त पन न # ई ^ x # स र फ # ई ^ x #। हम इस म क ल र न स त र म प लग कर सकत ह:
# ई ^ एक स = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (एन!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (एन!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #
अब ह क हम एक ट लर श र खल क ल ए ह # ई ^ x #, हम बस सभ क बदल सकत ह #एक स#क स थ ह # -2x # क ल ए एक श र खल प न क ल ए #E ^ (- 2x) #:
#E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ ऊ (-2x) ^ n / (एन!) = sum_ (n = 0) ^ ऊ (-2) ^ n / (एन!) x ^ n = #
# = 1-2 / (1!) एक स 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #
# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #
वह श र खल ह ज सक हम तल श थ ।
