उत तर:
#(0,0)# एक क ठ ब द ह
# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # तथ # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # स थ न य म क स म ह
# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # तथ # - (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # स थ न य म न म ह
# (0, द पहर 1 / sqrt 2) # तथ # (द पहर 1 / sqrt 2,0) # व भक त क ब द ह ।
स पष ट करण:
एक स म न य क र य क ल ए #F (एक स, व ई) # एक स थ र ब द पर # (X_0, y_0) # हम र प स ट लर श र खल क व स त र ह
#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta - 2 + 2F_ {xy} xi eta) + !!! ldots #
सम र ह क ल ए
#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
हम र प स ह
# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
#qadad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
यह द खन आस न ह क द न पहल व य त पन न न म नल ख त प न र स पर ग यब ह ज त ह
- #(0,0)#
- # (0, द पहर 1 / sqrt2) #
- # (द पहर 1 / sqrt2, 0) #
- # (द पहर 1 / sqrt2, द पहर 1 / sqrt2) #
इन स थ र ब द ओ क प रक त क ज च करन क ल ए, हम वह द सर ड र व ट व क व यवह र क द खन क जर रत ह ।
अभ व
# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
और इस तरह
# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
तथ
# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
क ल ए #(0,0)# हम र प स ह # (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल एक स ^ 2) = (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल व ई ^ 2) = 0 # तथ # (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल एक स ड ल व ई) = 1 # - इसल य
#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #
अगर आप एप र च करत ह #(0,0)# प क त क स थ - स थ # एक स = y #, यह बन ज त ह
#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #
इसल ए #(0,0)# यद आप इस द श स स पर क करत ह त ज ह र त र पर न य नतम ह । द सर ओर, यद आप ल इन क स थ स पर क करत ह # एक स = -y # हम र प स ह
#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #
इसल ए #(0,0)# इस द श म एक अध कतम ह, इस प रक र #(0,0)# एक ह क ठ क ब द .
क ल य # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # यह आस न स द ख ज त ह
# (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल एक स ^ 2) = (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल व ई 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # तथ # (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल एक स ड ल व ई) = 0 #
ज सक मतलब ह क
#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #
इसल ए, ज स भ तर क स आप द र ज त ह, फ क शन कम ह ज त ह # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # और यह एक ह स थ न य अध कतम। यह आस न स द ख ज त ह क वह चल ज त ह # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (यह स पष ट ह न च ह ए थ, क य क फ क शन उस क न च रहत ह # (x, y) स (-x -y) #!
फ र स, द न क ल ए # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # तथ # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # हम र प स ह
# (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल एक स ^ 2) = (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल व ई 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # तथ # (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल एक स ड ल व ई) = 0 #
त, य द न ब द स थ न य म न म ह ।
च र अ क # (0, द पहर 1 / sqrt2) # तथ # (द पहर 1 / sqrt2, 0) # अध क समस य ग रस त ह - च क इन ब द ओ पर सभ द सर ऑर डर ड र व ट व ग यब ह ज त ह । हम अब उच चतर आद श ड र व ट व क द खन ह ग । स भ ग य स, हम व स तव म इसक ल ए बह त म हनत करन क आवश यकत नह ह - बह त ह अगल व य त पन न प द व र
# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #
ज द न क ल ए ग र-श न य ह # (0, द पहर 1 / sqrt2) # तथ # (द पहर 1 / sqrt2, 0) #। अब, इसक मतलब ह क, उद हरण क ल ए
#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #
ज सस पत चलत ह क इसस व द ध ह ग # f (0,1 / sqrt 2) # एक द श म, और द सर म उसस घटत ह । इस प रक र # (0,1 / sqrt2) # व भक त क ** ब द ह । यह तर क अन य त न ब द ओ क ल ए क म करत ह ।
