इ टरग र शन क उपय ग करक इनक उत तर क स द ?

उत तर:

क ष त र ह # = (32/3) य ^ 2 # और आयतन ह # = (512 / 15pi) य ^ 3 #

स पष ट करण:

एक स-अक ष क स थ अवर धन क ख जन क द व र श र कर

# Y = 4x-x ^ 2 = एक स (4x) = 0 #

इसल ए, # X = 0 # तथ # एक स = 4 #

क ष त र ह

# द = YDX #

# एक = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx #

# = 2x ^ 2-1 / 3x ^ 3 _0 ^ 4 #

#=32-64/3-0#

# = 32 / 3u ^ 2 #

म त र ह

# DV = piy ^ 2DX #

# व = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2DX #

# = Piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx #

# = अन करण य 16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5 _0 ^ 4 #

# = अन करण य (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) #

# = अन करण य (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) #

# = अन करण य (512/15) #

उत तर:

ए। #32/3#

ख। # (512pi) / 15 #

स पष ट करण:

सबस पहल, हम उन ब द ओ क ख जन क आवश यकत ह ज न पर ग र फ प र करत ह #एक स#-एक स स।

# 4x-x ^ 2 = एक स (4x) = 0 #

भ # X = 0 # य # 4-x = 0 #

# x = 0 य 4 #

अब हम अपन ऊपर और न चल स म क ज नत ह ।

ए। # "एक ग र फ क तहत क ष त र" = int_b ^ af (x) dx #

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 = (2 (4) ^ 2-4 ^ 3/3) - (2 (0) ^ 2-0 ^ 3/3) = 32/3 #

ख। # "र ट शन क म त र " = piint_b ^ a (f (x)) ^ 2dx #

#F (x) ^ 2 = (4x-x ^ 2) ^ 2 = 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4 #

# piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi (16x ^ 3) / 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi (16 (4) ^ 3) / 3-2 (4) ^ 4 + 4 ^ 5/5) - ((16 (0) ^ 3) / 3-2 (0) ^ 4 + 0 ^ 5/5) = अन करण य 512/15 = (512pi) / 15 #