यह ज ञ त ह क सम करण bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 म एक व स तव क म ल ह । स द ध कर क सम करण x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 क ई व स तव क जड नह ह ।

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

क ल ए जड # Bx ^ 2 (एक-3 ब) x + b = 0 # कर रह ह

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

जड स य ग और व स तव क ह ग

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

य

# A = b # य # ए = 5 ब #

अब हल कर रह ह

# X ^ 2 + (ab) x + (ab-ख ^ 2 + 1) = 0 # हम र प स ह

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

जट ल जड क ल ए स थ त ह

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

अब बन रह ह # ए = ब # य # ए = 5 ब # हम र प स ह

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

सम पन, यद # Bx ^ 2 (एक-3 ब) x + b = 0 # तब स य ग व स तव क जड ह # X ^ 2 + (ab) x + (ab-ख ^ 2 + 1) = 0 # जट ल जड ह ग ।

हम द य गय ह क सम करण:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

एक व स तव क जड ह, इसल ए इस सम करण क भ दभ व श न य ह:

# ड ल ट = 0 #

# => (- (ए -3 ब)) ^ 2 - 4 (ब) (ब) = 0 #

#:। (ए -3 ब) ^ 2 - 4 ब ^ 2 = 0 #

#:। एक ^ 2-6ab + 9 ब ^ 2 - 4 ब ^ 2 = 0 #

#:। a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:। (ए -5 ब) (ए-ब) = 0 #

#:। a = b #, य # a = 5 ब #

हम सम करण द ख न च हत ह:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

क ई व स तव क जड नह ह । इसक ल ए एक नक र त मक व भ दक क आवश यकत ह ग । इस सम करण क ल ए व भ दक ह:

# ड ल ट = (ए-ब) ^ 2 - 4 (1) (एब -ब ^ 2 + 1) #

# _ _ एक ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# _ _ ^ ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

और अब पहल सम करण क स त ष ट करन व ल द स भ व त म मल पर व च र करत ह:

म मल एक: # A = b #

# ड ल ट = एक ^ 2-6ab + 5 ब ^ 2-4 #

# _ _ (ब) ^ 2-6 (ब) ब + 5 ब ^ 2-4 #

# _ _ ब ^ 2-6 ब ^ 2 + 5 ब ^ 2-4 #

# = -4 #

# _ _ ल फ ट न ट #

क स 2: # एक = 5 ब #

# ड ल ट = एक ^ 2-6ab + 5 ब ^ 2-4 #

# _ _ (5 ब) ^ 2-6 (5 ब) ब + 5 ब ^ 2-4 #

# _ _ 25 ब ^ 2-30 ब ^ 2 + 5 ब ^ 2-4 #

# = -4 #

# _ _ ल फ ट न ट #

इसल ए पहल सम करण क स थ त य ऐस ह क द सर सम करण म हम श एक नक र त मक भ दभ व ह त ह, और इसल ए इसम जट ल जड ह त ह (अर थ त क ई व स तव क जड नह), QED