म न ल ज ए क X एक सतत य द च छ क चर ह ज सक स भ व यत घनत व फ क शन द व र द गई ह : f <(x) = k (2x - x ^ 2) 0 <x <2 क ल ए; अन य सभ एक स क ल ए 0। K, P (X> 1), E (X) और Var (X) क म न क य ह ?

उत तर:

# K = 3/4 #

#P (एक स> 1) = 1/2 #

#E (एक स) = 1 #

#V (एक स) = 1/5 #

स पष ट करण:

ढ ढ न क ल ए # कश म र #, हम प रय ग करत ह # Int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#K (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## K = 3/4 #

ह स ब करन #P (एक स> 1) #, हम प रय ग करत ह #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2 / 2x ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

ह स ब करन #E (एक स) #

#E (एक स) = int_0 ^ 2xf (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2 एक स ^ 3) dx #

# = 3/4 2x ^ 3/3-x ^ 4/4 _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

ह स ब करन #V (एक स) #

#V (एक स) = ई (एक स ^ 2) - (ई (एक स)) ^ 2 = ई (एक स ^ 2) -1 #

#E (एक स ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3-x ^ 4) dx #

# = 3/4 2x ^ 4/4-x ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. व (एक स) = 6 / 5-1 = 1/5 #