F (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx अगर f (pi / 6) = 1 ह ?

उत तर:

# ई ^ x / 2 (प प (x) + cos (x)) - ln | क य क (एक स) | -1 / 2sec ^ 2 (एक स) -cos (एक स) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) ई ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

स पष ट करण:

हम अभ न न क त न म व भ ज त करक श र करत ह:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

म ल फ ट इ ट ग रल इ ट ग रल 1 और र इट वन इ ट ग रल 2 कह ग

अभ न न १

यह हम भ ग और थ ड च ल स एक करण क आवश यकत ह । भ ग द व र एक करण क स त र ह:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

इस म मल म, म द ग #F (x) = ई ^ x # तथ #G '(x) = क य क (एक स) #। हम वह म लत ह

#F '(x) = ई ^ x # तथ #G (x) = sin (x) #.

यह हम र अभ न न अ ग ह:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xin (x) dx #

अब हम फ र स भ ग द व र एक करण ल ग कर सकत ह, ल क न इस ब र क स थ #G '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

अब हम द न पक ष क अभ न न ज ड सकत ह:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = ई ^ x / 2 (प प (x) + cos (x)) + स #

अभ न न २

हम पहल पहच न क उपय ग कर सकत ह:

#tan (थ ट) = प प (थ ट) / cos (थ ट) #

यह द त ह:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

अब हम प यथ ग र यन पहच न क उपय ग कर सकत ह:

# प प ^ 2 (थ ट) = 1-क य क ^ 2 (थ ट) #

#int _ (प प (x) (1-cos ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

अब हम इसक स थ एक य -प रत स थ पन प श कर सकत ह # य = क य क (एक स) #। हम त व य त पन न द व र व भ ज त करत ह, # -प प (एक स) # क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #:

# -इ ट _ (रद द (प प (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (रद द (प प (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^) 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + स #

म ल अभ न न क प र करन

अब हम इ ट ग रल 1 और इ ट ग रल 2 ज नत ह, हम उन ह म ल इ ट ग रल म व पस प लग कर सकत ह और अ त म उत तर प र प त करन क ल ए सरल कर सकत ह:

# ई ^ x / 2 (प प (x) + cos (x)) - ln | क य क (एक स) | -1 / 2sec ^ 2 (एक स) -cos (x) + स #

अब जब हम हरकत क ज नत ह, त हम न र तर हल कर सकत ह:

#F (pi / 6) = 1 #

# ई ^ (pi / 6) / 2 (प प (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (अन करण य / 6) + स = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) ई ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + स = 1 #

# स = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) ई ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# स = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) ई ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

इसस पत चलत ह क हम र क र य ह:

# ई ^ x / 2 (प प (x) + cos (x)) - ln | क य क (एक स) | -1 / 2sec ^ 2 (एक स) -cos (एक स) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) ई ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #