उत तर:
क पय न च द ख ।
स पष ट करण:
(म) ज स क हम र प स ह # एक ^ 2 + b ^ 2 = ग ^ 2 #, ज सक अर थ ह क द न पक ष क वर ग क य ग #ए# तथ # B # त सर तरफ वर ग क बर बर ह #स #। इसल य, #/_स # व पर त द श #स # समक ण ह ग ।
म न ल, ऐस नह ह, त फ र स ल बवत ड र कर #ए# स व म र # ई.प. #, रहन द #स '#। अब प इथ ग रस प रम य क अन स र, # एक ^ 2 + b ^ 2 = (एस ') ^ 2 #। इसल य, # एस '= c = एस #। ल क न यह स भव नह ह । इसल य, # / _ एस ब # एक समक ण ह और # ड ल ट एब स # एक समक ण त र भ ज ह ।
हम त र क ण क ल ए क स इन स त र य द करत ह, ज बत त ह क # ग ^ 2 = एक ^ 2 + b ^ 2-2abcosC #.
(Ii) क स म क र प म #/_स # ह # 0 ^ @ <C <180 ^ @ #, अगर #/_स # आपत त जनक ह # COSC # नक र त मक ह और इसल ए # ग ^ 2 = एक ^ 2 + b ^ 2 + 2AB | COSC | #। इसल य, # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 # म ध यम #/_स # आपत त जनक ह
आइए हम प इथ ग रस प रम य क उपय ग करक इसक ज च कर और ड र कर # DeltaABC # स थ म # / _ स > 90 ^ @ # और बन ओ # ए ओ # व स त र त पर ल बवत # ई.प. # क र प म द ख य । अब प इथ ग रस प रम य क अन स र
# एक ^ 2 + b ^ 2 = ब स ^ 2 + एस ^ 2 #
= # (ब -ओस) ^ 2 + एस ^ 2 #
= # ब ^ 2 + ओस ^ 2-2BOxxCO + ए ओ ^ 2 + ओस ^ 2 #
= # ब ^ 2 + ए ओ ^ 2-2OC (ब -ओस) #
= # एब ^ 2-2OCxxBC = c ^ 2-OCxxBC #
इसल य # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 #
(Iii) और अगर #/_स # त व र ह # COSC # सक र त मक ह और इसल ए # ग ^ 2 = एक ^ 2 + b ^ 2-2ab | COSC | #। इसल य, # ए ^ 2 + ब ^ 2> स ^ 2 # म ध यम #/_स # त व र ह ।
इस ज चन क ल ए प इथ ग रस प रम य क उपय ग करत ह ए फ र स ड र कर # DeltaABC # स थ म # / _ स <90 ^ @ # और बन ओ # ए ओ # ल बवत # ई.प. # क र प म द ख य । अब प इथ ग रस प रम य क अन स र
# एक ^ 2 + b ^ 2 = ब स ^ 2 + एस ^ 2 #
= # (ब + ओस) ^ 2 + ए ओ ^ 2 + ओस ^ 2 #
= # ब ^ 2 + ओस ^ 2 + 2BOxxCO + ए ओ ^ 2 + ओस ^ 2 #
= # एब ^ 2 + 2oC (CO + ओब) #
= # ग ^ 2 + 2axxOC #
इसल य # ए ^ 2 + ब ^ 2> स ^ 2 #
