अभ सरण क पर भ ष क उपय ग करत ह ए, आप यह क स स ब त करत ह क अन क रम {2 ^ -n} n = 1 स अन त म पर वर त त ह त ह ?

उत तर:

N ज स न र ध र त करन क ल ए घ त य फ क शन क ग ण क उपय ग कर # | 2 ^ (- एन) -2 ^ (- म) | <एप स ल न # हर एक क ल ए # म, एन> एन #

स पष ट करण:

अभ सरण क पर भ ष बत त ह क # {A_n} # यद:

#AA एप स ल न> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <एप स ल न #

त, द य # प प ल न> 0 # ल न # एन> log_2 (1 / एप स ल न) # तथ # म, एन> एन # स थ म # म <n #

ज स # म <n #, # (2 ^ (- एम) - 2 ^ (- एन))> 0 # इसल ए # = 2 ^ (- एम) - 2 ^ (- एन) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

नह थ # 2 ^ x # हम श सक र त मक ह, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, इसल ए

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

और ज स # 2 ^ (- x) # सख त स कम ह रह ह और # म > एन> log_2 (1 / एप स ल न) #

# 2 ^ (- एम) - 2 ^ (- एन) <2 ^ (- एम) <2 ^ (- एन) <2 ^ (- log_2 (1 / एप स ल न) #

पर त:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (एप स ल न)) = epsilon #

इसल ए:

# = 2 ^ (- एम) - 2 ^ (- एन) | <एप स ल न #

Q.E.D.