उत तर:
# प र ण क # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
स पष ट करण:
हम द रह ह:
# प र ण क # #ln (XE ^ x) / (x) dx #
क उपय ग करत ह ए # एलएन (एब) = एलएन (ए) + एलएन (ब) #:
# = प र ण क # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #
क उपय ग करत ह ए #ln (ए ^ ब) = bln (ए) #:
# = प र ण क # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #
क उपय ग करत ह ए # एलएन (ई) = 1 #:
# = प र ण क # # (ln (x) + x) / (x) dx #
अ श क व भ जन (# x / x = 1 #):
# = प र ण क # # (ln (x) / x + 1) dx #
सम मन अभ न न क अलग करन:
# = प र ण क # #ln (x) / xdx + int dx #
द सर अभ न नत बस ह #x + C #, कह प #स # एक मनम न स थ र क ह । पहल अभ न न, हम उपय ग करत ह # य #-substitution:
चल #u equiv ln (x) #, इसल य #du = 1 / x dx #
क उपय ग करत ह ए # य #-substitution:
# = int udu + x + C #
एक क त करन (मनम न स थ र #स # पहल अन श च तक ल न अभ न न क मनम न न र तर क अवश ष त कर सकत ह:
# = u ^ 2/2 + x + C #
क स दर भ म प छ हटन #एक स#:
# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
उत तर:
#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
स पष ट करण:
हम न म नल ख त लघ गणक पहच न क उपय ग करक श र करत ह:
#ln (ab) = ln (क) + ln (ख) #
इस अभ न न पर ल ग करन, हम प र प त ह त ह:
#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #
# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #
श ष अभ न न क म ल य कन करन क ल ए, हम भ ग द व र एक करण क उपय ग करत ह:
#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #
म करन द ग #F (x) = ln (x) # तथ #G '(x) = 1 / एक स #। हम तब गणन कर सकत ह:
#F '(x) = 1 / एक स # तथ #G (x) = ln (x) #
हम तब प र प त करन क ल ए स त र स त र द व र एक करण ल ग कर सकत ह:
#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #
च क हम र प स सम न च न ह क द न ओर अभ न न ह, इसल ए हम इस सम करण क तरह हल कर सकत ह:
# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #
#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #
म ल अभ व यक त म व पस आत ह ए, हम अपन अ त म उत तर प र प त करत ह:
#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
