व भ दक सम करण y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 क स म न य सम ध न क य ह ?

# "व श षत सम करण ह:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "य " z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "क व ड क ड स क। eq। = 1 - 16 = -15 <0" #

# "त हम र प स द जट ल सम ध न ह, व ह " #

#z = (1 बज sqrt (15) i) / 2 #

# "त सज त य सम करण क स म न य सम ध न ह:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "प र ण सम करण क व श ष सम ध न" # ह

# "y = x," #

# "यह द खन आस न ह ।" "

# "त प र सम ध न ह:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

उत तर:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

स पष ट करण:

हम र प स ह:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

य, व कल प क र प स:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. ए

यह ह एक त सर न र तर ग ण क व ल र ख क ग र-सज त य व भ द करण सम करण क आद श द । म नक द ष ट क ण एक सम ध न ख जन क ल ए ह, # Y_c # सह यक सम करण क द खकर सज त य सम करण, ज क व य त पन न क ग ण क क स थ बह पद सम करण ह, और फ र एक स वत त र व श ष सम ध न ढ ढन ह । # Y_p # ग र-समर प सम करण क ।

सह यक सम करण क जड सम ध न क क छ ह स स क न र ध र त करत ह, ज यद र ख क र प स स वत त र ह, त सम ध न क स परप ज शन प र ण स म न य सम ध न क न र म ण करत ह ।

• असल अलग जड # m = अल फ, ब ट, … # फ र म क र ख क स वत त र सम ध न न कल ग # Y_1 = ऐ ^ (Alphax) #, # Y_2 = बन ^ (betax) #, …
• व स तव क द हर य जड # म टर = अल फ #, फ र म क एक सम ध न न कल ग # Y = (क ल ह ड + ब) ई ^ (Alphax) # जह बह पद म द हर व क सम न ड ग र ह त ह ।
• जट ल जड (ज स य ग म ज ड क र प म ह न च ह ए) # म टर = प + -qi # फ र म क एक ज ड क स वत त र र प स हल कर ग # Y = ई ^ (प क स ल) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

व श ष सम ध न

ग र-सज त य सम करण क एक व श ष सम ध न ख जन क ल ए:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # स थ म #f (x) = 4 # ….. स

फ र ऐस #F (एक स) # ड ग र क बह पद ह #0#, हम एक ह ड ग र क बह पद सम ध न क ल ए ख ज कर ग, अर थ त फ र म क # आपक = एक #

ह ल क, इस तरह क एक सम ध न पहल स ह स एफ सम ध न म म ज द ह और इसल ए फ र म क स भ व त सम ध न पर व च र करन च ह ए # Y = क ल ह ड #, जह स थ र क #ए# प रत यक ष प रत स थ पन और त लन द व र न र ध र त क य ज न ह:

फर क # Y = क ल ह ड # wrt #एक स# हम म ल:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

इन पर ण म क DE A म प रत स थ प त करत ह ए हम प र प त करत ह:

# 1-0 + 4a = 4 => a = 1 #

और इसल ए हम व श ष सम ध न बन त ह:

# y_p = x #

स म न य सम ध न

ज फ र ज एस ए} क ओर ज त ह

# y (x) = y_c + y_p #

# _ _ _ _ = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

इस सम ध न पर ध य न द #3# एक करण क स थ र क और #3# र ख य र प स स वत त र सम ध न, इसल ए अस त त व और व श ष टत क स द ध त क अन स र उनक स परप ज शन स म न य सम ध न ह