आप (अर टन (x)) / (x) क ल ए एक शक त श र खल न र पण क स करत ह और अभ सरण क त र ज य क य ह ?

उत तर:

क व य त पन न क शक त श र खल क एक क त कर #arctan (एक स) # तब स व भ ज त कर #एक स#.

स पष ट करण:

हम ज नत ह क शक त श र खल क प रत न ध त व # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # ऐस ह क # ग ल क स <1 #। इसल ए # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

त क ब जल श र खल #arctan (एक स) # ह #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

आप इस व भ ज त करत ह #एक स#, आपक पत चलत ह क क ब जल श र खल #arctan (एक स) / एक स # ह #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #। हम कहत ह #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

इस शक त श र खल क अभ सरण क त र ज य ज ञ त करन क ल ए, हम म ल य कन करत ह #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #। इसल ए यद हम च हत ह क ब जल श र खल क अभ सरण क य ज ए, त हम जर रत ह # ल ब स (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, त श र खल अगर अभ सरण ह ग # ग ल क स <1 #, ज आश चर यजनक नह ह क य क यह ब जल श र खल क अभ सरण क त र ज य क प रत न ध त व करत ह #arctan (एक स) #.

एक ह र क पर एक ह समय म द स क टर स ह त ह । एक स क टर र स त क अन सरण करत ह y = -2x ^ 2 + 18x जबक द सर स क टर एक स ध र स त क अन सरण करत ह ज (1, 30) स श र ह त ह और (10, 12) पर सम प त ह त ह । आप स थ त क म डल करन क ल ए सम करण क एक प रण ल क स ल खत ह ?

च क हम र प स पहल स ह द व घ त सम करण (a.k.a पहल सम करण) ह , हम सभ क यह पत ह न च ह ए क र ख य सम करण ह । सबस पहल , फ र म ल m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) क उपय ग करक ढल न ढ ढ , जह m ढल न ह और (x_1, y_1) और (x_2, y_2) फ क शन क ग र फ पर ब द ह । m = (30 - 12) / (1 - 10) m = 18 / -9 m = -2 अब, इस ब द ढल न र प म प लग करन । न ट: म न ब द (1,30) क उपय ग क य ह , ल क न य त ब द एक ह उत तर म पर ण म द ग । y - y_1 = m (x - x_1) y - 30 = -2 (x - 1) y = -2x + 2 + 30 y = -2x + 32 ढल न अवर धन क र प म , y अलग, x क स थ शब द क र प म ग ण क ढल न ह ग और न र तर शब द y अवर धन ह ग । आप र ख कन करक स स टम क हल करन सबस अच छ ह ग , क य क ल इन म ऐस प इ ट

अभ सरण क पर भ ष क उपय ग करत ह ए, आप क स स ब त करत ह क अन क रम 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 अभ सरण ह त ह ?

क स भ स ख य epsilon क द खत ह ए> N म M क स थ M> 1 / sqrt (6epsilon) च न । फ र, n> = M क ल ए हम र प स: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / एप स ल न और इसल ए: n> = M => 1 / (6 ^ ^ 2 +) 1) <एप स ल न ज स म क स ब त करत ह ।

क य श र खल क प र तरह स अभ सरण, सशर त र प स अभ सरण य व चलन कह ज त ह ? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

यह प र तरह स पर वर त त करत ह । न रप क ष अभ सरण क ल ए पर क षण क उपय ग कर । यद हम श र खल ओ क न रप क ष म न क ल त ह त हम श र खल 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + प र प त ह त ह ... यह स म न य अन प त 1/4 क एक ज य म त य श र खल ह । इस प रक र यह अभ सरण ह त ह । च क द न | a_n | कनवर ज न स a_n प र तरह स कनवर ट करत ह । उम म द ह क यह मदद करत ह !