म न ल ज ए क RR ^ 4 म उप-प रज त डब ल य क ल ए एक न श च त स ख य क आय म थ । आय म 2 क स ख य क य ह ?

उत तर:

4 आय म म इनस 2 क कम = 2 आय म

स पष ट करण:

त त य और चत र थ न र द श क क वल स वत त र ह । पहल द क अ त म द क स दर भ म व यक त क य ज सकत ह ।

उत तर:

एक उप-स थ न क आय म उसक ठ क न द व र तय क य ज त ह, न क क स व क टर स थ न क आय म स । यह एक उप-स थ न ह ।

स पष ट करण:

व क टर स प स क आय म क उस स थ न क आध र पर व क टर क स ख य स पर भ ष त क य ज त ह (अन त आय म र क त स थ न क ल ए, इस आध र क क र ड न ल ट द व र पर भ ष त क य ज त ह)। ध य न द क यह पर भ ष स स गत ह क य क हम यह स ब त कर सकत ह क व क टर स थ न क क स भ आध र पर व क टर क स ख य उतन ह ह ग ज तन क स अन य आध र पर।

क म मल म # आरआर ^ n # हम ज नत ह क #dim (RR ^ n) = n # ज स

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

क ल ए एक आध र ह # आरआर ^ n # और ह # उपलब ध नह # तत व ।

क म मल म # आर = एस, आर आर म # हम क स भ तत व क ल ख सकत ह # डब ल य # ज स #svec (u) + tvec (v) # कह प #vec (u) = (4,1,0,1) # तथ #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

इसस, हम र प स वह ह {{vec (u), vec (v)} # क ल ए एक फ ल ह ए स ट ह # डब ल य #। इसल य #vec (य) # तथ #vec (v) # स पष ट र प स एक द सर क ग णक नह ह (क पद पर ध य न द) #0#एस), इसक मतलब ह क {{vec (u), vec (v)} # क ल ए एक र ख क र प स स वत त र फ ल स ट ह # डब ल य #, वह, एक आध र ह । इसल य # डब ल य # क स थ एक आध र ह #2# तत व, हम कहत ह क #dim (W) = 2 #.

ध य न द क एक व क टर स थ न क आय म इस ब त पर न र भर नह ह क उसक व क टर बड आय म क अन य व क टर स थ न म म ज द ह सकत ह य नह । एकम त र स ब ध यह ह क यद # डब ल य # क एक उप-स थ न ह # व # फ र #dim (W) <= म द (V) # तथ #dim (W) = म द (V) <=> W = V #