उत तर:
# (ड व ई) / (DX) = एक स ^ 2 / (1 + x ^ 2) #
स पष ट करण:
म म न रह ह क आप ख जन च हत ह # (ड व ई) / (DX) #। इसक ल ए हम पहल एक अभ व यक त क आवश यकत ह # Y # क अन स र #एक स#। हम ध य न द क इस समस य क व भ न न सम ध न ह #tan (एक स) # एक आवध क क र य ह, #tan (एक स-y) = एक स # कई सम ध न ह ग । ह ल क, च क हम स पर शर ख फ क शन क अवध ज नत ह (# अन करण य #), हम न म नल ख त कर सकत ह: # एक स y = तन ^ (- 1) x + NPI #, कह प #tan ^ (- 1) # स पर शर ख क ब च क म न क व य त क रम फलन ह # -Pi / 2 # तथ # Pi / 2 # और क रक # NPI # स पर शर ख क आवध कत क ल ए ख त म ज ड गय ह ।
यह हम द त ह # Y = एक स-तन ^ (- 1) एक स-NPI #, इसल ए # (ड व ई) / (DX) = 1-घ / (DX) तन ^ (- 1) एक स #, ध य न द क क रक # NPI # ग यब ह गय ह । अब हम ख जन क जर रत ह # घ / (DX) तन ^ (- 1) एक स #। यह क फ म श क ल ह, ल क न र वर स फ क शन प रम य क उपय ग करन य ग य ह ।
स ट ग # य = तन ^ (- 1) एक स #, हम र प स ह # एक स = तन = sinu / cosu #, इसल ए # (DX) / (ड) = (क य क ^ 2U + प प ^ 2U) / क य क ^ 2U = 1 / क य क ^ 2U #, भ गफल न यम और क छ त र क णम त य पहच न क उपय ग कर। उलट फ क शन प रम य क उपय ग करन (ज बत त ह क यद # (DX) / (ड) # न र तर और ग र-श न य ह, हम र प स ह # (ड) / (DX) = 1 / ((DX) / (ड)) #), हम र प स ह # (ड) / (DX) = क य क ^ 2U #। अब हम व यक त करन क आवश यकत ह # क य क ^ 2U # x क स दर भ म ।
ऐस करन क ल ए, हम क छ त र क णम त क उपय ग करत ह । पक ष क स थ एक सह त र क ण द य # एक, ख, ग # कह प #स # कर ण और ह # क, ख # समक ण स ज ड ह आ। अगर # य # जह क ण ह #स # पक ष #ए#, हम र प स ह # एक स = तन = b / एक #। प रत क क स थ # एक, ख, ग # सम करण म हम इन क न र क ल ब ई क दर श त ह । # Cosu = एक / ग # और प इथ ग रस प रम य क उपय ग करत ह ए, हम प त ह # C = sqrt (एक ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1 + (ख / एक) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #। यह द त ह # Cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, इसल ए # (ड) / (DX) = 1 / (1 + x ^ 2) #.
जबस # य = तन ^ (- 1) एक स #, हम इस अपन सम करण म बदल सकत ह # (ड व ई) / (DX) # और ढ ढ # (ड व ई) / (DX) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.
