आप (e ^ x) / (1 + e ^ (2x)) क प रत पक ष क स प त ह ?

उत तर:

# म र गन (e ^ x) + C #

स पष ट करण:

# "ई ^ एक स" ड एक स क "ड (ई ^ एक स)" क र प म ल खत ह, फ र हम "#" प र प त करत ह

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "प रत स थ पन y =" e ^ x "क स थ, हम " #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "ज " # क बर बर ह

# म र गन (y) + C #

# "अब व पस व कल प" y = e ^ x: #

# म र गन (e ^ x) + C #

उत तर:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

स पष ट करण:

हम ख जन च हत ह # क ¥ ^ x / (1 + ई ^ (2x)) "ड " एक स = int1 / (1 + (ई ^ x) ^ 2) ई ^ x "ड " एक स #

अब छ ड # य = ई ^ x # और इसल ए द न तरफ अ तर क ल ज त ह # ड = ई ^ xdx #। अब हम इन द न सम करण क प र प त करन क ल ए अभ न न अ ग म बदल द त ह

# Int1 / (1 + य ^ 2) "ड " य #

यह एक म नक अभ न न अ ग ह ज म ल य कन करत ह # Arctanu #। क ल ए प छ हटन #एक स# हम एक अ त म उत तर म लत ह:

# कर तन ई ^ एक स + "स " #

उत तर:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

स पष ट करण:

सबस पहल, हम करत ह # य = 1 + ई ^ (2x) #। क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #, हम क व य त पन न स व भ ज त करत ह # य #, ज ह # 2 ई ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^) x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #, हम सब क छ क स दर भ म व यक त क जर रत ह # य #, त हम क य क ल ए हल करन क जर रत ह # ई ^ x # क स दर भ म ह # य #:

# य = 1 + ई ^ (2x) #

# ई ^ (2x) = य -1 #

# 2x = ln (य -1) #

# X = 1 / 2ln (य -1) #

# एक स = ln ((य -1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (य -1)) #

# ई ^ एक स = ई ^ (ln (sqrt (य -1))) = sqrt (य -1) #

अब हम इस व पस अभ न न म प लग कर सकत ह:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

आग हम एक प रत स थ पन क स थ पर चय द ग # Z = sqrt (य -1) #। व य त पन न ह:

# (Dz) / (ड) = 1 / (2sqrt (य -1) #

इसल ए हम इस सम म न क स थ एक क त करन क ल ए व भ ज त करत ह # Z # (य द रख क व भ ज त करन प रस पर क क ग ण क सम न ह):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

अब, एक ब र फ र स हम र प स गलत चर ह, इसल ए हम क सक ल ए हल करन क आवश यकत ह # य # क स दर भ म बर बर ह # Z #:

# Z = sqrt (य -1) #

# य -1 = z ^ 2 #

# य = z ^ 2 + 1 #

यह द त ह:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

यह स म न य व य त पन न ह # तन ^ -1 (z) #, त हम प र प त करत ह:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

सभ प रत स थ पन क ब द, हम प र प त करत ह:

# तन ^ -1 (z) + C = तन ^ -1 (sqrt (य -1)) + स = #

# = तन ^ -1 (sqrt (1 + ई ^ (2x) -1)) + स = तन ^ -1 ((ई ^ (2x)) ^ (1/2)) + स = #

# = तन ^ -1 (ई ^ x) + स #