Int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx क य ह ?

उत तर:

#= 1/4#

स पष ट करण:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ ई = 1/4 #

उत तर:

#1/4#

स पष ट करण:

कई तर क स ऐस कर सकत ह, यह उनम स द ह । सबस पहल एक प रत स थ पन क उपय ग करन ह:

# र ग (ल ल) ("व ध 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

चल #u = ln (x) क अर थ ह ड = (dx) / x #

स म ए बदलन:

#u = ln (x) क त त पर य ह u: 0 rarr 1 #

अभ न न ह ज त ह:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

यह सरल तर क ह, ल क न आप हम श एक प रत स थ पन बन न म सक षम नह ह सकत ह । एक व कल प भ ग द व र एक करण ह ।

# र ग (ल ल) ("व ध 2") #

भ ग द व र एक करण क उपय ग कर:

क र य क ल ए #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) क त त पर य ह u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) क त त पर य v (x) = 1 / 2ln (x) # ह

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

शब द क तरह सम ह करण:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + x #

# पहल स इ ट (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

हम ह ल क एक न श च त अभ न न अ ग क स थ क म कर रह ह, इसल ए स म ए ल ग करन और स थ र हट न:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1)

# एलएन (ई) = 1, एलएन (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #