आप int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx क क स एक क त कर ग ?

उत तर:

यह अभ न न नह ह ।

स पष ट करण:

जबस #ln x> 0 # अ तर ल म # 1, ई #, हम र प स ह

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

यह, त क अभ न न ह ज ए

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

व कल प # ल x = उ #, फ र # dx / x = du # त क

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

यह एक अन च त अभ न न अ ग ह, क य क न चल स म पर इ ट ग र ड ड इवर ज ह त ह । इस पर भ ष त क य गय ह

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

अगर यह म ज द ह । अभ व

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

च क यह स म म व चलन करत ह #l -> 0 ^ + #अभ न न क अस त त व नह ह ।

उत तर:

# Pi / 2 #

स पष ट करण:

अभ न न # Int_1 ^ ए ("ड " x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

पहल स थ न पन न # य = ln (x) # तथ # "ड " य = ("ड " एक स) / एक स #.

इस प रक र, हम र प स ह

#int_ (x = 1) ^ (एक स = ई) ("ड " य) / sqrt (1-य ^ 2) #

अब, स थ न पन न # य = प प (v) # तथ # "ड " य = क य क (v) "ड " व #.

फ र, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e)) "ड " व # जबस # 1-प प ^ 2 (v) = क य क ^ 2 (v) #.

ज र ह, हम र प स ह

# V _ (एक स = 1) ^ (एक स = ई) = arcsin (य) _ (x = 1) ^ (एक स = ई) = arcsin (ln (x)) _ (एक स = 1) ^ (x = ई) = arcsin (ln (ई)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #