उत तर:
ब द #(0,0),(1,0)#, तथ #(0,1)# क ठ अ क ह । ब द #(1/3,1/3)# एक स थ न य अध कतम ब द ह ।
स पष ट करण:
हम व स त र कर सकत ह # च # स व म र #F (एक स, व ई) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #। इसक ब द, आ श क ड र व ट व ख ज और उन ह श न य क बर बर स ट कर ।
# फ र क { आ श क च} { आ श क x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #
# frac { आ श क f} { आ श क y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #
स पष ट र प स, # (एक स, व ई) = (0,0), (1,0), # तथ #(0,1)# इस प रण ल क सम ध न ह, और इसल ए महत वप र ण ब द ह # च #। अन य सम ध न प रण ल स प य ज सकत ह # 1-2x-y = 0 #, # 1-एक स-2y = 0 #। क ल ए पहल सम करण हल करन # Y # क अन स र #एक स# द त ह # Y = 1-2x #, ज स प र प त करन क ल ए द सर सम करण म प लग क य ज सकत ह # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #। इस स, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # भ ।
इन महत वप र ण ब द ओ क प रक त क पर क षण करन क ल ए, हम द सर व य त पन न प त ह:
# # frac { आ श क ^ {2} f} { आ श क x ^ {2}} = - 2y #, # # फ र क { आ श क ^ {2} f} { आ श क y ^ {2}} = - 2x #, तथ # # frac { आ श क ^ {2} f} { आ श क x आ श क y} = frac { आ श क ^ {2} f} { आ श क y आ श क x} = 1-2x-2y #.
भ दभ व करन व ल इसल ए ह:
# ड = 4xy- (1-2x-2y) 2 ^ #
# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #
# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy -1 #
पहल त न महत वप र ण ब द ओ क द त ह:
#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, तथ #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, इन ब द ओ क क ठ ब द बन त ह ।
अ त म महत वप र ण ब द म प लग ग द त ह #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #। उस पर भ ध य न द # # फ र क { आ श क ^ {2} f} { आ श क x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #। इसल ए, #(1/3,1/3)# क एक स थ न य अध कतम म ल य क एक स थ न ह # च #। आप द ख सकत ह क स थ न य अध कतम म ल य ह ह #F (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.
न च सम च च म नच त र (स तर घटत क) क च त र ह # च # (घटत जह क उत प दन # च # स थ र ह), क 4 महत वप र ण ब द ओ क स थ # च #.
