यद स भव ह , त एक फ क शन ख ज ज स क f f (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

उत तर:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

स पष ट करण:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "अब ल " #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "फ र हम र प स एक और एक ह एफ ह, ज शर त क प र करत ह ।" "

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

उत तर:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

स पष ट करण:

ड ल ऑपर टर (य ग र ड ए ट ऑपर टर) एक सद श ड फर श यल ऑपर टर क र प म हम र प रश न म खर ब अ कन ह

हम एक सम र ह च हत ह #F (एक स, व ई) # ऐस ह क:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y: 5 # #

कह प #BB (स न तक) # ग र ड ए ट ऑपर टर ह:

"# ग र ड" f = bb (grad) f = (आ श क f) / (आ श क x) bb (उल ट प i) + (आ श क f) / (आ श क x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

ज सस हम इसक आवश यकत ह:

# f_x = (आ श क f) / (आ श क x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # # ….. ए

# f_y = (आ श क f) / (आ श क y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # # ….. ब

यद हम A wrt क एक क त करत ह #एक स#, जबक इल ज # Y # एक स थ र क क र प म तब हम म लत ह:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# _ = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

अगर हम B क एक क त करत ह # Y #, जबक इल ज #एक स# एक स थ र क क र प म तब हम म लत ह:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# _ = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

कह प #U (y) # क एक मनम न क र य ह # Y # अक ल, और #V (एक स) # क एक मनम न क र य ह #एक स# अक ल ।

हम स पष ट र प स इन क र य क सम न ह न क आवश यकत ह, इस प रक र हम र प स ह:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:। x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

और इसल ए हम च नत ह #V (x) = x ^ 4 # तथ #U (y) = y ^ 6 #, ज हम अपन सम ध न द त ह:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

हम आ श क ड र व ट व क गणन करक सम ध न क आस न स प ष ट कर सकत ह:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:। bb (ग र ड) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y 5 >> >> QED