म न ल ज ए क एक श त सम म लन म m Martians & n Earthlings ह । यह स न श च त करन क ल ए क सम म लन म म र ट य स श त रह , हम यह स न श च त करन च ह ए क क ई भ द म र ट यन एक स थ न ब ठ , ज स क क स भ द म र ट यन क ब च कम स कम एक अर थल ग ह ? (व स त र स द ख )

उत तर:

ए) # (एन! (N + 1)!) / ((एन-म टर + 1)!) #

ख) # (एन! (एन -1)!) / ((एन-एम)!) #

स पष ट करण:

क छ अत र क त तर क क अल व, हम ग नत क ल ए त न स म न य तकन क क उपय ग कर ग ।

सबस पहल, हम इस तथ य क उपय ग कर ग क अगर वह ह # उपलब ध नह # एक क म करन क तर क और # म टर # द सर करन क तर क, फ र क र य क स वत त र म नत ह ए (आप एक क ल ए क य कर सकत ह, इस पर भर स नह करत क आपन द सर म क य क य ह), वह ह # एनएम # द न करन क तर क । उद हरण क ल ए, अगर म र प स प च शर ट और त न ज ड प ट ह, त ह #3*5=15# स गठन म बन सकत ह ।

द सर, हम उस क रम क तर क क स ख य क उपय ग कर ग # कश म र # वस त ह #K! #। ऐस इसल ए ह क य क वह ह # कश म र # पहल वस त क च नन क तर क, और फ र # K-1 # द सर, और इस तरह आग और आग च नन क तर क । इस प रक र क ल तर क क स ख य ह #K (k-1) (k-2) … (2) (1) = कश म र! #

अ त म, हम इस च नन क तर क क स ख य क उपय ग कर ग # कश म र # क एक स ट स वस त ओ # उपलब ध नह # वस त ह # (n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (क र प म उच च रण n k च न)। इस फ र म ल क आन क एक र पर ख यह द गई ह ।

क) यद हम श र म फ ट क अवह लन करत ह, त वह ह # म ! # म र ट य स और ऑर डर करन क तर क #N! # अर थल ग स क ऑर डर करन क तर क । अ त म, हम यह द खन क जर रत ह क म र ट य स क कह रख गय ह । ज स क प रत य क म र ट यन क य त अ त म य द अर थल ग क ब च रखन क आवश यकत ह त ह # N + 1 # व स थ न ज व ब ठ सकत ह (प रत य क अर थल ग क ब ई ओर, और फ र सबस द ई ओर एक)। ज स वह ह # म टर # म र ट यन, इसक मतलब ह क वह ह # (n (1 + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n +-m)!) # उन ह रखन क स भ व त तर क । इस प रक र ब ठन क क ल व यवस थ ह

# एन! (! (एन + 1)!) / (एम (एन + 1-एम)!) = (एन! (एन + 1)!) / ((एन-एम + 1)!) #

b) यह समस य उपर क त क सम न ह । च ज क सरल बन न क ल ए, आइए एक अर थल ग च न और उस र ष ट रपत कह । क य क इसस क ई फर क नह पड त क सर कल क क स घ म य ज त ह, इसक बज य एक न रप क ष आद श क आध र पर ब ठन क व यवस थ क उल ल ख करन क बज य, हम र ष ट रपत क उनक स ब ध क आध र पर ब ठन क व यवस थ पर व च र कर ग ।

ऊपर क तरह, यद हम र ष ट रपत स श र करत ह और सर कल क च र ओर दक ष ण वर त ज र रखत ह, त हम श ष उपस थ त य क आद श द न क तर क क स ख य क गणन कर सकत ह । ज स वह ह # म टर # म र ट यन और # N-1 # श ष प थ व, वह ह # म ! # म र ट य स और ऑर डर करन क तर क # (N-1)! # श ष प थक करण क आद श द न क तर क ।

इसक ब द, हम एक ब र फ र म र ट य स क स थ त द न क आवश यकत ह । इस ब र हम र प स अ त म एक अत र क त स थ न नह ह, इस प रक र क वल वह ह # उपलब ध नह # व स थ न पर ब ठ सकत ह । फ र ह # ((एन), (एम)) = (एन!) / (म टर! (एन-एम)!) # उन ह रखन क तर क । इस प रक र ब ठन क क ल व यवस थ ह

# (N-1)! म टर! (एन!) / (म टर! (एन-एम)!) = (एन! (एन -1)!) / ((एन-एम)!) #