2 और 3 क ब च त न अपर म य स ख य ए क य ह ?

उत तर:

क पय न च द ख ।

स पष ट करण:

क शक त य #2# कर रह ह #2, 4, 8, 16, 32#

और क शक त य #3# कर रह ह #3, 9, 27, 81, 243#

इसल य # Sqrt7 #, #root (3) 17 #, #root (4) 54 # तथ #root (5) 178 # क ब च सभ अपर म य स ख य ह #2# तथ #3#,

ज स #4<7<9#; #8<17<27#; #16<54<81# तथ #32<178<243#.

ऐस स ख य ए ख जन क अन य तर क क ल ए द ख क 0.33 और 0.34 क ब च त न स ख य ए क य ह ?

उत तर:

# वर ग (2) +1, ई, प आई -1 # और बह त स र ।

स पष ट करण:

द सर उत तर म ज ड त ह ए, हम आस न स उतन अध क न बर उत पन न कर सकत ह, ज तन क हम यह ध य न रखन च ह ग क तर कस गत क स थ अपर म य क य ग तर कह न ह । उद हरण क ल ए, हम र प स प रस द ध तर कह नत ए ह # ई = 2.7182 … # तथ #pi = 3.1415 … #.

इसल ए, सट क स म ओ क ब र म च त क ए ब न, हम न श च त र प स क स भ सक र त मक स ख य क कम स ज ड सकत ह #0.2# स व म र # ई # य स कम एक सक र त मक स ख य घट न #0.7# और व छ त श र ण म एक और अपर म य प र प त कर । इस तरह, हम क स भ सक र त मक स ख य क ब च म घट सकत ह #0.2# तथ #1.1# और ब च म तर कह न ह ज न #2# तथ #3#.

# 2 <ई <ई + 0.1 <ई + 0.11 <ई + 0.111 <… <ई + 1/9 <3 #

# 2 <pi-1.1 <pi - 1.01 <pi-1.001 <… <pi - 1 <3 #

यह क स भ तर कह न क स थ क य ज सकत ह ज सक ल ए हम र प स कम स कम प र ण क भ ग क ल ए एक अन म न ह । उद हरण क ल ए, हम ज नत ह क # 1 <sqrt (2) <sqrt (3) <2 #। ज स #sqrt (2) # तथ #sqrt (3) # द न तर कह न ह, हम ज ड सकत ह #1# य त व छ त स म म और अध क तर कह नत प र प त करन क ल ए:

# 2 <sqrt (2) +1 <sqrt (3) +1 <3 #

उत तर:

अपर म य स ख य व ह ज कभ स पष ट पर ण म नह द त ह । उनम स त न # 2 और 3 # ह सकत ह: # sqrt5, sqrt6, sqrt7 #, और कई और भ ह ज प र व-ब जगण त स पर ह ।

स पष ट करण:

अपर म य स ख य हम श एक म न क सन न कटन ह त ह, और हर एक हम श क ल ए चल ज त ह । सभ स ख य ओ क जड ज ह सह वर ग नह (एनप एस) तर कह न ह, ज स क छ उपय ग म ल य ह # अन करण य # तथ # ई #.

ज स द स ख य ओ क ब च अपर म य स ख य ज ञ त करन # 2 और 3 # हम पहल ख जन क जर रत ह वर ग इस म मल म ज द न बर ह # 2 ^ 2 = 4 और 3 ^ 2 = 9 #.

अब हम ज नत ह क हम र स भ व त सम ध न क आर भ और अ त ब द क य ह # 4 और 9 # क रमश । हम यह भ ज नत ह क द न # 4 और 9 # सह वर ग ह क य क बर बर यह ह क हमन उन ह क स प य ।

फ र उपर क त पर भ ष क उपय ग करत ह ए, हम यह कह सकत ह क हम र द व र अभ -अभ प ए गए द वर ग क ब च सभ एनप एस स ख य ओ क जड म ल स ख य ओ क ब च अपर म य स ख य ह ग । क ब च # 4and9 # हम र प स ह #5, 6, 7, 8#; ज सक जड ह # sqrt5, sqrt6, sqrt7, sqrt8।

इन क जड ब च क अपर म य स ख य ह ग # 2 और 3 #.

उद हरण क ल ए: # Sqrt8 ~~ 2.82842712474619 …………… # जह लहर त र ख ओ क मतलब ह लगभग, य, हम र प स कभ भ सट क स ख य त मक उत तर नह ह ग ।