Int (cos (x)) ^ 4 dx क य ह ?

उत तर:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x)) #

स पष ट करण:

श र म व स तव म कष टप रद अभ न न ह न क क रण, हम व स तव म इस अभ न न क सरल अभ न न क एक श र खल म त ड न क ल ए ट र गर पहच न क श षण कर सकत ह ज सस हम अध क पर च त ह ।

हम ज स पहच न क उपय ग कर रह ह वह ह:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

इसस हम अपन सम करण म फ रबदल कर सकत ह:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

अब हम प त क क अ दर cos ^ 2 (2x) क खत म करन क ल ए अपन न यम फ र स ल ग कर सकत ह:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

अब हम र प स व स तव म एक सरल एक करण समस य ह, हम अपन म ल म अभ न न क व तर त कर सकत ह त क:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

इनम स प रत य क ट र गर इ ट ग रल क सरल न यम स न य त र त क य ज त ह #int cos (क ल ह ड) dx = 1 / a sin (ax) #.

इस प रक र, # = 1/8 3x + 2 प प (2x) + 1/4 प प (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + प प (4x) #

यह द ख ए क cos + / 10 + cos²4π / 10 + cosπ 6 10/10 + cos²π9π / 10 = 2। यद म Cos²4 a / 10 = cosπ (π-6 bit / 10) और cos 109² / 10 = cos² (π-π / 10) बन त ह त म थ ड भ रम त ह , यह cos (180 ° -theta) = - costheta क र प म नक र त मक ह ज एग द सर चत र थ श। म प रश न क स ब त करन क ब र म क स ज ऊ ?

क पय न च द ख । LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi /) 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Cos ^ 2 π / 8 + cos ^ 2 3 8/8 + Cos ^ 2 5 8/8 + cos ^ 2 7 And / 8 हल कर और म न क उत तर द ?

Rarrcos ^ 2 (pi / 8) + cos ^ 2 ((3pi) / 8) + cos ^ 2 ((5pi) / 8) cos ^ 2 ((7pi) / 8) = 2 rarrcos ^ 2 (pi / 8) + cos ^ 2 ((3pi) / 8) + cos ^ 2 ((5pi) / 8) + cos ^ 2 ((7pi) / 8) = cos ^ 2 (pi / 8) + cos ^ 2 ((3pi) / 8) + cos ^ 2 (pi- (3pi) / 8) cos ^ 2 (pi-pi / 8) = cos ^ 2 (pi / 8) + cos ^ 2 ((3pi) / 8) + cos ^ 2 ((3pi) / 8) + cos ^ 2 (pi / 8) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 8) + cos ^ 2 ((3pi) / 8)] = 2 * [cos ^ 2 (pi /) 8) + प प ^ 2 (pi / 2- (3pi) / 8)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 8) + sin ^ 2 (pi / 8)] = 2 * 1 = 2

द ख ए क , (1 + cos थ ट + i * प प थ ट ) ^ n + (1 + cos थ ट - i * प प थ ट ) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos थ ट / 2) ^ n * cos ( n * थ ट / 2)?

क पय न च द ख । 1 + क स ट त + आइस थ ट = आर (क सल फ + इस न लफ ) द , यह r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costa) = sqrt (2 + 4cos ^ 2) (ata / 2) ) -2) = 2cos (थ ट / 2) और त नल प = स न थ ट / (1 + क स ट त ) == (2 स न (थ ट / 2) क स (थ ट / 2)) / (2 स स ^ 2 (थ ट / 2)) = ट न (थ ट / 2) य अल फ = थ ट / 2 फ र 1 + क स ट थ -आइ न थ त = आर (क स (र ल फ ) + आइस न (-ल प )) = आर (क सलफ -इस न लफ ) और हम ल ख सकत ह (1 + क थ ट + इस न थ त ) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n म DE MOivre क प रम य क r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ acosnalpha = 2 * 2 ^ ncos ^ n (थ ट / 2) cos (ntheta) क र प म उपय