आप y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) क ल ए asymptotes क स ख जत ह ?

उत तर:

खड

# X = 1 #

# एक स = 3 #

क ष त ज

# X = 1 # (द न क ल ए # + - ऊ #)

पर क ष

म ज द नह ह

स पष ट करण:

चल # Y = f (x) #

• ल बवत व षमत ए

फ क शन क स म क पत लग ए क य क यह अन त क छ ड कर अपन ड म न क स म तक ज त ह । यद उनक पर ण म अन त ह, त इसस भ अध क #एक स# ल इन एक asymptote ह । यह, ड म न ह:

#x in -oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

त ४ म मक न ऊर ध व धर व षमत ए ह:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

asymptote # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((एक स 1) (एक स 3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + ऊ # क ल ए ल बवत asymptote ह # X = 1 #

न ट: क ल ए # एक स 1 # जबस #एक स# 1 स थ ड कम ह पर ण म 0 स क छ कम ह ग, इसल ए स क त नक र त मक ह ग, इसल ए न ट #0^-# ज ब द म एक नक र त मक च न ह म बदल ज त ह ।

अस म त क ल ए प ष ट # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((एक स 1) (एक स 3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # क प ष ट क

asymptote # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((एक स 1) (एक स 3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # क ल ए ल बवत asymptote ह # एक स = 3 #

अस म त क ल ए प ष ट # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((एक स 1) (एक स 3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + ऊ # क प ष ट क

• क ष त ज असमम तत

फ क शन क ओर ज त ह, द न स म ए ख ज # + - ऊ #

म इनस इनफ न ट #x -> - ऊ #

#lim_ (एक स -> - ऊ) f (x) = lim_ (एक स -> - ऊ) (x + 1) ^ 2 / ((एक स 1) (एक स 3)) = #

# = Lim_ (एक स -> - ऊ) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x -3) = lim_ (एक स -> - ऊ) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / एक स ^ 2)) / (एक स ^ 2 (1-4 / x-3 / एक स ^ 2)) = #

# = Lim_ (एक स -> - ऊ) (रद द (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / एक स ^ 2)) / (रद द (एक स ^ 2) (1-4 / एक स -3 / x ^ 2)) = lim_ (एक स -> - ऊ) (1 + 2 / x + 1 / एक स ^ 2) / (1-4 / x-3 / एक स ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# क ल ए क ष त ज asymptote # Y = 1 #

स थ ह अन त #x -> + ऊ #

#lim_ (एक स -> + ऊ) f (x) = lim_ (एक स -> + ऊ) (x + 1) ^ 2 / ((एक स 1) (एक स 3)) = #

# = Lim_ (एक स -> + ऊ) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x -3) = lim_ (एक स -> + ऊ) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / एक स ^ 2)) / (एक स ^ 2 (1-4 / x-3 / एक स ^ 2)) = #

# = Lim_ (एक स -> + ऊ) (रद द (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / एक स ^ 2)) / (रद द (एक स ^ 2) (1-4 / एक स -3 / x ^ 2)) = lim_ (एक स -> + ऊ) (1 + 2 / x + 1 / एक स ^ 2) / (1-4 / x-3 / एक स ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# क ल ए क ष त ज asymptote # Y = 1 #

न ट: यह स र फ इतन ह त ह क इस फ क शन म द न क ल ए एक स म न य क ष त जत ह # -Oo # तथ # + ऊ #। आपक हम श द न क ज च करन च ह ए।

• त र यक व षमत ए

आपक पहल द न स म ए म लन च ह ए:

#lim_ (एक स -> + - ऊ) f (x) / एक स #

प रत य क क ल ए, यद यह स म एक व स तव क स ख य ह, त asymptote म ज द ह और स म इसक ढल न ह । # Y # प रत य क क अवर धन स म ह:

#lim_ (एक स -> + - ऊ) (f (x) म * x) #

ह ल क, हम पर श न स बच न क ल ए, आप इसस बचन क ल ए क छ फ क शन "ज ञ न" क उपय ग कर सकत ह । च क हम ज नत ह #F (एक स) # द न क ल ए क ष त ज स पर श न म ख ह # + - ऊ # एक त रछ ह न क एकम त र तर क क र प म एक और ल इन ह #x -> + - ऊ #। ह ल क, #F (एक स) # एक ह #1-1# फ क शन इसल ए द नह ह सकत # Y # एक क ल ए म ल य #एक स#, इसल ए एक द सर प क त अस भव ह, इसल ए त रछ स पर श न म ख ह न अस भव ह ।