पहल स द ध त x ^ 2sin (x) स अ तर कर ?

उत तर:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # व य त पन न क पर भ ष और क छ स म ए ल न स ।

स पष ट करण:

चल #f (x) = x ^ 2 प प (x) #। फ र

# (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x) / / # #

# = lim_ {h to 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h _ 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (प प (x) क स (h) + sin (h) क स (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h #

त र क णम त य पहच न और क छ सरल करण द व र । इन च र अ त म प क त य पर हम र प स ह च र पद.

पहल क र यक ल बर बर 0, क ब द स

#lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, ज स ईज द ख ज सकत ह । ट लर व स त र य L'Hospital क न यम स ।

च थ पद भ ग यब ह ज त ह क य क

#lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

अब द सर प र क सरल करत ह

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, जबस

# आलम_ {ह ० स ०} (प प (ज)) / ज = १ #, ज स क यह द ख य गय ह, य उद । L'Hospital क न यम (न च द ख)।

त सर अवध क सरल करत ह

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

ज सक ब द द सर क र यक ल म ज ड न वह द त ह

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

न ट: L'Hospital क न यम स, तब स # # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # तथ # # lim_ {h to 0} h = 0 # और द न क र य च र ओर भ न न ह त ह # ज = 0 #, हम र प स वह ह

# # lim_ {h _ 0} sin (h) / h = lim_ {h to 0} (((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h _ 0} cos (h) = 1 #.

स म # lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # इस तरह द ख य ज सकत ह ।