उत तर:
स पष ट करण:
हम न म नल ख त त र क णम त य स म क उपय ग कर ग:
#lim_ (xto0) sinx / एक स = 1 #
चल
फ क शन क सरल बन ए:
#F (x) = एक स / एक स + sinx / एक स #
#F (x) = 1 + sinx / एक स #
स म क म ल य कन कर:
#lim_ (x स 0) (1 + sinx / x) #
इसक अल व स म क व भ ज त कर:
#lim_ (x स 0) 1 + lim_ (x स 0) sinx / x #
#1+1=2#
हम क ग र फ द ख सकत ह
ग र फ {(x + sinx) / x -5.55, 5.55, -1.664, 3.885}
ग र फ ब द क श म ल करत प रत त ह त ह
क स स ब त कर (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?
क पय न च द ख । LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos / x / 2) 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)] / (2cos (x / 2) * [] sin (x / 2) + cos (x / 2)] = tan (x / 2) = RHS
क य क ई इस ट र गर पहच न क सत य प त करन म मदद कर सकत ह ? (Sinx + cosx) ^ 2 / प प ^ 2x-क य क ^ 2x = प प ^ 2x-क य क ^ 2x / (sinx-cosx) ^ 2
यह न च सत य प त ह : (sinx + cosx) ^ 2 / (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => (रद द कर (sinx + cosx) ) (sinx + cosx)) / ((sinx + cosx) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => ((sinx-cosx) ( sinx-cosx)) ((sinx-cosx) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => र ग (हर ) ((sin ^ 2x-cos ^) 2x) / (sinx-cosx) ^ 2) = (प प ^ 2x-क य क ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2
स ब त (1 + sinx + icosx) / (1 + sinx-icosx) = sinx + icosx?
न च द ख । De Moivre क पहच न क उपय ग करन ज e ^ (ix) = cos x + i sin x हम र प स ह (1 + e ^ (ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) (1+) e ^ (- ix)) / (१ + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) न ट e ^ (ix) (१ + e ^ (- ix)) = (cos x + isinx) (१+) cosx-i sinx) = cosx + cos ^ 2x + isinx + sin ^ 2x = 1 + cosx + isinx य 1 + cosx + isinx = (cos x + isinx) (1 + cosx-i sinx)