एक ज य म त य प रगत क स म न य अन प त आर प रगत क पहल शब द ह (r ^ 2-3r + 2) और अनन तत क य ग ह S = 2-r (I ह ) द ख ए स भ व त म न क स ट एस ल सकत ह ?

उत तर:

# S = / a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

जबस # | आर | <1 # हम म ल # 1 <एस <3 #

स पष ट करण:

हम र प स ह

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

एक अन त ज य म त य श र खल क स म न य य ग ह

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

हम र म मल म, #S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

ज य म ट र क श र खल क वल तब पर वर त त ह त ह जब # | आर | <1 #, त हम प र प त करत ह

# 1 <एस <3 #

उत तर:

# र ग (न ल) (1 <एस <3) #

स पष ट करण:

# Ar ^ (n-1) #

कह प # BBR # स म न य अन प त ह, # ब ब ए # पहल शब द ह और # BBN # nth शब द ह ।

हम बत य ज त ह क सम न प त क अन प त क य ह # आर #

पहल क र यक ल ह # (R ^ 2-3r +2) #

एक ज य म त य श र खल क य ग इस प रक र ह:

#a ((1-आर ^ n) / (1-र)) #

अनन तत क य ग क ल ए यह सरल ह:

# एक / (1-आर) #

हम बत य ज त ह क यह र श एस ह ।

एक और आर क ल ए हम र म ल य म स थ न पन न:

# (R ^ 2-3r + 2) / (1-आर) = एस #

अ श क क रक:

# ((आर -1) (आर-2)) / (1-आर) = एस #

ग ण अ श और हर क द व र #-1#

# ((आर -1) (2-आर)) / (आर -1) = एस #

रद द कर रह ह:

# (रद द ((आर -1)) (2-आर)) / (रद द ((1-आर))) = एस #

# एस = 2-आर #

स भव म न क ख जन क ल ए हम य द ह क एक ज य म त य श र खल म क वल अन त क ल ए एक र श ह त ह यद # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

अर थ त।

# 1 <एस <3 #