Int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx क य ह ?

उत तर:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

स पष ट करण:

यह स पष ट करण थ ड ल ब ह, ल क न म इस करन क एक त ज तर क नह ख ज सक …

इ ट ग रल एक र ख क अन प रय ग ह, इसल ए आप पहल स ह इ ट ग रल स इन क तहत फ क शन क व भ ज त कर सकत ह ।

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

2 पहल शब द बह पद क र य ह, इसल ए उन ह एक क त करन आस न ह । म आपक द ख त ह क यह क स करन ह # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # इसल ए # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #। आप उस क ल ए सट क क म करत ह # X ^ 3 #, पर ण म ह #255/4#.

ख ज #intsqrt (एक स 1) / x ^ 2DX # थ ड ल ब और जट ल ह । पहल आप अ श क ग ण कर #sqrt (एक स 1) / sqrt (एक स 1) # और फ र आप चर क बदलत ह: म न ल त ह #u = sqrt (x-1) #। इसल ए # ड = 1 / (2sqrt (एक स 1)) dx # और अब आपक ढ ढन ह # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #। इस ख जन क ल ए, आपक तर कस गत फ क शन क आ श क अ श अपघटन क आवश यकत ह # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # स थ म आरआर # म # ए, ब, स, ड । पथर क ब द, हम पत चलत ह # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, ज सक मतलब ह क # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (ड) / (य ^ 2 + 1) ^ 2 # अच छ तरह स ज न ज त ह, यह ह # कर तन (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

आख रक र, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

आप प रत स थ प त कर # य # क स थ अपन म ल अभ व यक त द व र #एक स# रखन क ल ए #intsqrt (एक स 1) / x ^ 2DX #, ज ह # कर तन (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

त आख रक र, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 (4 #)