आ श क व य त पन न क क य महत व ह ? एक उद हरण द और म झ स क ष प म समझन म मदद कर ।

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

म झ उम म द ह यह मदद कर ग ।

आ श क व य त पन न आ तर क र प स क ल भ न नत स ज ड ह आ ह ।

म न ल ज ए क हम र प स एक फ क शन ह #F (एक स, व ई) # और हम ज नन च हत ह क जब हम प रत य क चर म व द ध करत ह त यह क तन भ न न ह त ह ।

व च र क ठ क करन, बन न #f (x, y) = k x y # हम ज नन च हत ह क यह क तन ह

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

हम र फ क शन-उद हरण म हम र प स ह

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

और फ र

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

क चयन #dx, ड ई # फ र मनम न छ ट #dx ड ई लगभग 0 # और फ र

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ल क न आम त र पर

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / ड ई ड ई # #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx), y)) / ड ई ड ई #

अब बन रह ह #dx, ड ई # मनम न ढ ग स छ ट हम र प स ह

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) ड ई) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

इसल ए हम आ श क व य त पन न क गणन करक, क स द ए गए फ क शन क ल ए क ल भ न नत क गणन कर सकत ह #f_ (x_1), f_ (x_2), स ड, f_ (x_n) # और य ग क

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

यह, म त र ए #f_ (x_i) # क आ श क व य त पत त कह ज त ह और इस इस प रक र भ दर श य ज सकत ह

# (आ श क एफ) / (आ श क x_i) #

हम र उद हरण म

#f_x = (आ श क f) / (आ श क x) = k x # तथ

#f_y = (आ श क f) / (आ श क y) = k y #

ध य न द

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx->) 0), (dy-> 0)) (च (x + dx, y + ड व ई) -f (एक स, व ई)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y) / ड ई = lim _ ((dx->) 0), (ड ई-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y) / / #

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

ऊपर Cesareo क उत तर क प रक क ल ए, म कम गण त य र प स कठ र पर चय त मक पर भ ष प रद न कर ग ।

आ श क व य त पन न, श थ ल ब लन, हम बत त ह क एक बह -चर सम र ह क तन बदल ज एग जब अन य चर स थ र रखत ह । उद हरण क ल ए, म न ल ज ए क हम द य गय ह

#U (ए, ट) = एक ^ 2t #

कह प # य # क स व श ष उत प द क उपय ग त (ख श) क र य ह, #ए# उत प द क र श ह, और # ट # वह समय ह जब उत प द क उपय ग क य ज त ह ।

म न ल ज ए क ज क पन उत प द बन त ह, वह यह ज नन च ह ग क यद व उत प द क आय 1 य न ट बढ द त व इसस क तन अध क उपय ग त प र प त कर सकत ह । आ श क व य त पन न क पन क यह म ल य बत एग ।

आ श क व य त पन न क आमत र पर ल अरक स ग र क अक षर ड ल ट द व र न र प त क य ज त ह (# आ श क #), ल क न अन य स चन ए ह । हम उपय ग कर ग # आ श क # अभ क ल ए।

यद हम यह ज नन क क श श कर रह ह क समय म 1 य न ट व द ध क स थ उत प द क उपय ग त क तन बदल ज त ह, त हम समय क स थ उपय ग त क आ श क व य त पन न क गणन कर रह ह:

# (PartialU) / (partialt) #

प ड क गणन करन क ल ए, हम अन य चर स थ र रखत ह । इस म मल म, हम इल ज करत ह # एक ^ 2 #, अन य चर, ज स क यह एक स ख य थ । पर चय त मक क लक लस स य द कर क एक पर वर तन य क व य त पन न एक चर ह । यह यह एक ह व च र ह: (आ श क) व य त पन न # एक ^ 2 #एक स थ र, ब र # ट #पर वर तनश ल, बस स थ र ह:

# (PartialU) / (partialt) = एक ^ 2 #

इस प रक र, उत प द क उपय ग क समय म 1 य न ट क व द ध ह त ह # एक ^ 2 # अध क उपय ग त । द सर शब द म, उत प द अध क स त षजनक ह ज त ह यद यह अध क ब र उपय ग क य ज सक ।

आ श क व य त पन न क ब र म बह त क छ कह ज सकत ह - व स तव म, प र स न तक और स न तक प ठ यक रम आ श क व य त पन न स ज ड क छ प रक र क सम करण क हल करन क ल ए समर प त ह सकत ह - ल क न म ल व च र यह ह क आ श क व य त पन न हम बत त ह क क तन एक पर वर तनश ल पर वर तन जब अन य सम न रहत ह ।