1 / sqrt (tanx) dx = क अभ न न अ ग?

उत तर:

# 1 / (sqrt2) तन ^ -1 ((Tanx -1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (Tanx-sqrt (2tanx) +1) / (Tanx-sqrt (2tanx) +1) | + स #

स पष ट करण:

हम एक य -प रत स थ पन क स थ श र करत ह # य = sqrt (Tanx) #

क व य त पन न # य # ह:

# (ड) / dx = (स क ड ^ 2 (x)) / (2sqrt (Tanx)) #

इसल ए हम इसक स ब ध म एक करण करन क ल ए इसस व भ ज त ह त ह # य # (और य द रख, अ श क व भ ज त करन इसक प रस पर क द व र ग ण क सम न ह):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / स क ड ^ 2x du = #

# = int 2 / sec ^ 2x du #

च क हम एक क त नह कर सकत #एक स#क स ब ध म ह # य #, हम न म नल ख त पहच न क उपय ग करत ह:

# स क ड ^ 2theta = तन ^ 2theta + 1 #

यह द त ह:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du #

यह श ष अभ न न एक बल क थक ऊ आ श क अ श अपघटन क उपय ग करत ह, इसल ए म इस यह नह कर ग । इस उत तर पर एक नज र ड ल यद आप र च रखत ह क यह क स क म करत ह:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | (u ^) 2-sqrt2u +1) / (य ^ 2-sqrt2u +1) |) + स = #

# = 1 / (sqrt2) तन ^ -1 ((य ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln | (य ^ 2-sqrt2u +1) / (य ^ 2-sqrt2u + 1) | + स #

क ल ए फ र स त य र करन # य = sqrt (Tanx) #, हम म ल:

# 1 / (sqrt2) तन ^ -1 ((Tanx -1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (Tanx-sqrt (2tanx) +1) / (Tanx-sqrt (2tanx) +1) | + स #

उत तर:

# = 1 / sqrt (2) तन ^ -1 ((Tanx -1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (Tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (Tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + स #

स पष ट करण:

# म = int1 / sqrt (Tanx) dx #

चल, #sqrt (Tanx) = ट => Tanx = ट ^ 2 => स क ड ^ 2xdx = 2tdt #

# => (1 + तन ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1 + (ट ^ 2) ^ 2 #

#:. म = int1 / cancelt * (2 * cancelt * ड ट) / (1 + ट ^ 4) = INT2 / (1 + ट ^ 4) ड ट #

# = प र ण क (ट ^ 2 + 1) / (1 + ट ^ 4) ड ट -प र ण क (ट ^ 2-1) / (1 + ट ^ 4) dt = प र ण क (1 + 1 / ट ^ 2) / (ट ^ 2 + 1 / ट ^ 2) ड ट -प र ण क (1-1 / ट ^ 2) / (ट ^ 2 + 1 / ट ^ 2) ड ट #

# = प र ण क (1 + 1 / ट ^ 2) / ((ट -1 / ट) ^ 2 + 2) ड ट -प र ण क (1-1 / ट ^ 2) / ((ट + 1 / ट) ^ 2 2) ड ट #

ल न,# (ट -1 / ट) = uand (ट + 1 / ट) = व ## => (1 + 1 / ट ^ 2) dt = duand (1-1 / ट ^ 2) dt = DV ## => म = int1 / (य ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) द -int1 / (v ^ 2 (sqrt (2)) ^ 2) ड व = 1 / sqrt (2) तन ^ - 1 (य / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (V-sqrt2) / (v + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) तन ^ -1 ((ट -1 / ट) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((ट + 1 / ट) -sqrt2) / ((ट + 1 / ट) + sqrt2) | + स ## = 1 / sqrt (2) तन ^ -1 ((ट ^ 2-1) / (sqrt (2) ट)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((ट ^ 2 + 1-sqrt (2) ट)) / ((ट ^ 2 + 1 + sqrt (2) ट)) | + स #

# = 1 / sqrt (2) तन ^ -1 ((Tanx -1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (Tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (Tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + स #