उत तर:
# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #
स पष ट करण:
हम र म ग ह क:
# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #
जब हम एक ब द क म ल य कन करत ह, त हम "ब द क प स" फ क शन क व यवह र क द खत ह, जर र नह क फ क शन क व यवह र "ब द पर" ब द पर, इस प रक र स
# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #
# _ = lim_ (x rarr 0) 1 #
# = 1 #
स पष टत क ल ए फ क शन क एक ग र फ क आसप स क व यवह र क कल पन कर
ग र फ {प प (1 / x) / प प (1 / x) -10, 10, -5, 5}
यह स पष ट क य ज न च ह ए क फ क शन
उत तर:
क पय न च द ख ।
स पष ट करण:
म र द व र उपय ग क ए ज न व ल फ क शन क स म क पर भ ष ए इसक बर बर ह:
"क अर थ क क रण
वह ह, आवश यक क ल ए
यह सब हम म लत ह:
(
इसल ए,
एक लगभग त च छ उद हरण
क य lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / () 2x + ... + x + ...) = ऊ?
"स पष ट करण द ख " "1 स ग ण कर (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "फ र आपक " lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (3) म ल ग x ^ 2 - 7 x + 3)) "(क य क " (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x -) 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / / 4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(क य क " lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = ल म {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8
क य बर बर ह ? lim_ (x-> pi / 2) प प (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?
1 "ध य न द :" र ग (ल ल) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "त यह हम र प स" lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x) ह )) / cos (x) "अब न यम ल ग कर l l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1
क म ल य क य ह ? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2
Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 हम च हत ह : L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x) ^ 2) द न अ श और 2 भ जक rarr 0 क र प म x rarr 0. इस प रक र स म L (यद यह म ज द ह ) एक अन श च त फ र म 0/0 क ह , और पर ण मस वर प, हम L'Hôpital क न यम क प र प त करन क ल ए आव दन कर सकत ह : L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int00 ^ x sin ( t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) अब, पथर क म लभ त प रम य क उपय ग करत ह ए: d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) और, d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) और इसल ए: L = lim_ (x rarr 0)