म इ ट ग रल इ ट (x * क स (5x)) dx क स ढ ढ ?

हम भ ग द व र एक करण क स त र क ध य न म रख ग, ज ह:

#int u DV = uv - int v du #

इस अभ न न क सफलत प र वक ख जन क ल ए हम कर ग #u = x #, तथ #dv = cos 5x dx #। इसल ए, # उत तर = ड एक स # तथ #v = 1/5 प प 5x #. (# V # एक त वर त क उपय ग कर प य ज सकत ह # य #-substitution)

क रण म न च न #एक स# क म ल य क ल ए # य # क य क म ज नत ह क ब द म म एक करण कर ग # V # स ग ण # य #व य त पन न ह । क व य त पन न क ब द स # य # स र फ #1#, और जब स एक ट र गर फ क शन क एक क त करन स यह क स भ अध क जट ल नह ह, हमन प रभ व र प स हट द य ह #एक स# अभ न न स और क वल अब स इन क च त करन ह ।

इसल ए, आईब प क फ र म ल म प लग ग, हम म लत ह:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

ख चन #1/5# अभ न न स ब हर हम द त ह:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

स इन क एक क त क वल एक ल ज एग # य #-substitution। च क हम पहल ह इस त म ल कर च क ह # य # IBP क स त र क ल ए म पत र क उपय ग कर ग # क ष # बज य:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

एक प न क ल ए # 5 dx # अभ न न क अ दर म एक द सर स अभ न न ग ण कर ग #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

और, क म मल म सब क छ बदल रह ह # क ष #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

हम ज नत ह क अभ न न # प प # ह # -Cos #, इसल ए हम इस अभ न न क आस न स सम प त कर सकत ह । एक करण क न र तरत य द रख:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

अब हम बस व पस स थ न पन न कर ग # क ष #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

और हम र अभ न नत ह ।

सम करण x ^ 4 -2x ^ 3-3x ^ 2 + 4x-1 = 0 म च र अलग-अलग व स तव क जड x_1, x_2, x_3, x_4 ह ज स x_1<><>

-3 (x + x_1) (x + x_2) (x + x_3) (x + x_4) और हम र त लन {} (x_1x_2x_3x_4 = -1), (x_1 x_2 x3 + x_1 x_2 x_4 + x_3 x_4 + x_3 + x_3) ह । x_4 = 4), (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_4 + x_2 x_4 + x_3 + x_4 = -3), (x_1 + x_2 + x3 + x_4 = -2):} अब x_1 + x_1 + x_3 + x_3 क व श ल षण कर रह ह । x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 + (x_2x_3 +_1x_4) क चयन करत ह ए x_1x_4 = 1 क अन सरण करत ह ए (पहल शर त) - पहल शर त (पहल शर त); x_1x_4) = -3 य x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -3- (x_2x_3 + x_1x_4) = - 3

जड {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 क x ^ 6 + क ल ह ड ^ 3 + b = 0 ऐस ह ज हर x_i = 1 ह । आप यह क स स ब त करत ह क , अगर b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 = 5 ?. अन यथ , b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

इसक बज य, उत तर {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} और स गत सम करण ह (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 और x ^ 6 + -1 = 0 .. Cesereo R क अच छ उत तर न म झ म र उत तर ठ क करन क ल ए, म र प र न स स करण क स श ध त करन म सक षम बन य । प रपत र x = r e ^ (i थ ट ) व स तव क और जट ल द न जड क प रत न ध त व कर सकत ह । असल जड क म मल म x, r = | x | |, सहमत ह ए। हम आग बढ । इस र प म , r = 1 क स थ, सम करण द सम करण म व भ ज त ह त ह , cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 ... (1) और प प 6 थ ट + a sin 3 थ ट = 0 ... (2) To सहजत स , पहल (3) च न और प प क उपय ग कर 6theta = 2 प प 3theta cos 3theta। यह प प 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 द त ह , ज सक सम ध न sin 3th

एक र ख य सम करण क ढल न एम स त र = (y_2 - y_1) / (x_2-x_1) क उपय ग करक प य ज सकत ह , जह x- म न और y- म न द क रमबद ध ज ड (x_1, y_1) और (x_2) स आत ह , y_2), y_2 क ल ए समत ल य सम करण क य ह ?

म झ यक न नह ह क यह वह ह ज आप च हत थ ल क न ... आप = स इन पर क छ "श व ल क म वम ट स" क उपय ग करक y_2 क अलग करन क ल ए आपक अभ व यक त क फ र स व यवस थ त कर सकत ह : स श र : m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1): x_2-x_1) ब ई ओर = च ह न क य द करत ह ए क यद म ल र प स व भ ज त ह रह थ , बर बर च ह न क प र त कर रह ह , त यह अब ग ण ह ज एग : (x_2-x_1) m = y_2-y_1 अगल हम y_1 ल त ह , ज स ऑपर शन म बदलन य द ह फ र स : घट व स य ग तक: (x_2-x_1) m + y_1 = y_2 अब हम y_2 क स दर भ म प नर व यवस थ त एक सप र स क "y_2 = (x_2-x_1) m + y_1" क र प म "पढ " सकत ह