Int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx क अभ न न अ ग क य ह ?

उत तर:

# 1/2 -ln (प ट (sqrt (1 + ई ^ (2x)) + 1)) + ln (प ट (sqrt (1 + ई ^ (2x)) - 1)) sqrt (1 + ई ^ (2x)) + स #

स पष ट करण:

पहल हम व कल प द त ह:

# य = ई ^ (2x) +1, ई ^ (2x) = य -1 #

# (ड) / (DX) = 2 ई ^ (2x); dx = (ड) / (2 ई ^ (2x)) #

#intsqrt (य) / (2 ई ^ (2x)) ड = intsqrt (य) / (2 (य -1)) ड = 1 / 2intsqrt (य) / (य -1) ड #

द सर प रत स थ पन कर:

# V ^ 2 = य, व = sqrt (य) #

# 2 व (DV) / (ड) = 1; ड = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = INTV ^ 2 / (v ^ 2-1) ड व = int1 + 1 / (v ^ 2-1) ड व #

आ श क अ श क उपय ग करक व भ ज त कर:

# 1 / ((V + 1) (v-1)) = ए / (V + 1) + ब / (V-1) #

# 1 = एक (V-1) + B (v + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2 ब #, # ब = 1/2 #

# V = -1 #:

# 1 = -2A #, # एक = -1 / 2 #

अब हम र प स ह:

# -1 / (2 (v +1)) + 1 / (2 (v-1)) #

# Int1 + 1 / ((V + 1) (v-1)) ड व = int1-1 / (2 (v +1)) + 1 / (2 (v-1)) ड व = 1/2 -ln (प ट (V + 1)) + ln (प ट (V-1)) v + स #

व पस अ दर ल न # V = sqrt (य) #:

# 1/2 -ln (प ट (sqrt (य) +1)) + ln (प ट (sqrt (य) -1)) + sqrt (य) + स #

व पस अ दर ल न # य = 1 + ई ^ (2x) #

# 1/2 -ln (प ट (sqrt (1 + ई ^ (2x)) + 1)) + ln (प ट (sqrt (1 + ई ^ (2x)) - 1)) sqrt (1 + ई ^ (2x)) + स #