[Pi / 2, (3pi) / 4] पर f (x) = 3x-1 / sinx क व ल प तत क य ह ?

उत तर:

ड म न पर न य नतम न य नतम लगभग ह त ह । # (प आई / 2, 3.7124) #, और ड म न पर अध कतम अध कतम लगभग ह त ह । # (3pi / 4, 5.6544) #। क ई स थ न य एक स ट र म नह ह ।

स पष ट करण:

इसस पहल क हम श र कर, यह हम व श ल षण करन और द खन क ल ए प र र त करत ह #sin x # क म ल य पर ल त ह #0# अ तर ल पर क स भ ब द पर। #sin x # सभ एक स क ल ए श न य ह ऐस #x = npi #. # Pi / 2 # तथ # 3pi / 4 # द न स कम ह # अन करण य # और स अध क ह # 1 = = 0 #; इस प रक र, #sin x # यह श न य क म ल य नह ल य ज त ह ।

इस न र ध र त करन क ल ए, य द रख क एक चरम य त जह ह त ह #f '(x) = 0 # (महत वप र ण ब द) य सम पन ब द ओ म स एक पर। इस ध य न म रखत ह ए, हम उपर क त f (x) क व य त पन न क ल त ह, और ऐस ब द ख जत ह जह यह व य त पन न 0 क बर बर ह त ह

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

हम इस अ त म अवध क क स हल करन च ह ए?

स क ष प म व च र कर प रस पर क न यम, ज हम र प छल क र यक ल ज स स थ त य क स भ लन क ल ए व कस त क य गय थ, # d / (dx) (1 / sin x) #। प रस पर क न यम हम श र खल य भ गवत न यम क उपय ग करक स ध ब यप स करन क अन मत द त ह, ज क एक अलग फ क शन द त ह #G (एक स) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

कब # ज (एक स)! = 0 #

अपन म ख य सम करण पर ल टत ह ए, हमन स थ छ ड द य;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

जबस #sin (एक स) # भ न न ह, हम यह प रस पर क न यम ल ग कर सकत ह:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

इस 0 क बर बर स ट करत ह ए, हम यह पह चत ह:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

यह तभ ह सकत ह जब #cos x / sin ^ 2 x = -3। #। यह स यह व श ष र प स त र क णम त य पर भ ष ओ म स एक क उपय ग करन क ल ए हम प र र त कर सकत ह # प प ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

यह एक बह पद ज स द खत ह #cos x # हम र प र पर क एक स क जगह। इस प रक र, हम घ षण करत ह # ऊतक x = u # तथ …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #। यह द व घ त स त र क उपय ग करत ह ए …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

हम र जड ह त ह #u = (1 + -sqrt37) / 6 # इसक अन स र। ह ल क, इन जड म स एक (# (1 + sqrt37) / 6 #) क ल ए एक र ट नह ह सकत #cos x # क य क जड 1 स अध क ह, और # -1 <= cosx <= 1 # सभ एक स क ल ए। द सर ओर हम र द सर जड, लगभग उतन ह गणन करत ह #-.847127#। ह ल क, यह न य नतम म ल य स कम ह #cos x # सम र ह अ तर ल पर (क ब द स कर सकत ह) #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-.847127 #। इस प रक र, ड म न म क ई महत वप र ण ब द नह ह.

इस ध य न म रखत ह ए, हम अपन सम पन ब द ओ पर व पस ल टन ह ग और उन ह म ल क र य म लग न ह ग । ऐस करत ह ए, हम प र प त करत ह #f (प आई / 2) लगभग ३.५१२४, एफ (३ प / ४) लगभग ५.६५४४ #

इस प रक र, ड म न पर हम र प र ण न य नतम लगभग ह # (प आई / 2, 3.7124), # और हम र अध कतम लगभग ह # (3pi / 4, 5.6544) #