Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) नय प रश न ?

#ए)#

आपक बस ल न क जर रत ह #Psi ^ "*" स ई #.

# र ग (न ल) (स ई ^ "*" स ई) = वर गम टर (१ / एल) प प ((प क स) / एल) ई ^ - (iomega_1t) + sqrt (१ / एल) प प ((२pix / / L)) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) प प ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) प प ((2pix) / L) e ^ -) (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) प प ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) प प ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) / sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - ((iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((Pix) / L) + 1 / L ((Pix) / L) प प ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L प प ((प क स) / एल) प प ((२ प क स) / एल) ई ^ (i (omega_2-omega_1) t) + १ / एल प प ^ २ ((२ प क स) / एल) #

# = र ग (न ल) (1 / एल प प ^ 2 ((प क स) / एल) + प प ^ 2 ((2pix) / एल) + 1 / एल प प ((प क स) / एल) प प ((2pix)) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

# ब ल क) #

अवध क न य नतम प रय स क स थ प य ज सकत ह, बस पहल ऊर ज ओ क ज नकर, ज गत क स थ र क ह ।

क ऊर ज # phi_1 = sqrt (1 / L) प प ((pix) / L) # ह # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2_1 ^ 2) / (4mL ^ 2) #, और क ऊर ज # Phi_2 # ह # 4E_1 #। इसल ए, आव त त # Omega_2 # क # Phi_2 # क च र ग न ह # Phi_1 # (# Omega_1 #).

नत जतन, अवध # T_1 = (2pi) / (omega_1) # क # Phi_1 # क च र ग न ह # Phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, और क अवध भ ह # Phi_2 #.

अवध इस प रक र ह # र ग (न ल) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#स)#

म आपक इस र प म अपन आप क प लग करन द त ह #t _ "*" = pi / 2 (E_2) E_1) #। आपक इसक स थ क छ भ करन क आवश यकत नह ह …

हम ज नत ह क #T = (2pi) / (omega_1) #, और वह # (iEt) / ℏ = iomegat #, इसल ए

#E_n = omega_nℏ #.

नत जतन, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ga) #

तथ

# र ग (न ल) (t _ "* * / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ga) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) c) cdot (omega_1) / / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = र ग (न ल) (1 / (12 color)) #

# द न) #

कण क अ दर ख जन क स भ वन # 0, एल / 2 # क र प म द य गय ह

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) प प ^ 2 ((प क स) / L) + प प ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) ((pix) / L) प प ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) प प ^ 2 ((प क स) / L) + प प ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2): 2/2 ((pix) / एल) प प ((2pix) / एल) cos (3omega_1t) dx #

पहल द शब द आध आय म क स थ समम त ह, और उपज #50%# समग र।

त सर क र यक ल म स थ र र ज य क स भ वन ह ग # 4 / (3pi) #, तथ # क य क # एक मनम न चरण क रक ह । इस प रक र, समग र स भ वन ह

# = र ग (न ल) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

# र ग (न ल) (<< x >>) = << स ई | x | स ई >> = << xPsi | स ई >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) प प ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

इसक क ई त च छ सम ध न नह ह … यह पत चल ह:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = र ग (न ल) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

#F) #

पर #x = L / 2 #, क # प प # शर त ज न # स न (प आई / 2) = 1 # और करन क ल ए # स न (प) = 0 #, क रमश ।

जबस # स न (प) = 0 #क समय पर न र भर भ ग #Psi ^ "*" स ई # ग यब ह ज त ह और समय-स वत त र ह स स बरकर र रहत ह # 1 / एल # स भ वन घनत व क र प म ।