गणना

[-1 / pi, 1 / pi] म x पर स प क ष व ल प त ह न क अन त स ख य म ज द ह (x) = + - 1 सबस पहल , चल अ तर ल क अ त ब द ओ क प लग करत ह [-1 / pi, 1 / pi] अ त व यवह र क द खन क ल ए सम र ह। f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 अगल , हम श न य क बर बर व य त पन न स ट करक महत वप र ण ब द ओ क न र ध र त करत ह । f '(x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) प प (1 / x) -sin (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) ) प प (1 / x) -sin (1 / x) = 0 द र भ ग य स , जब आप इस अ त म सम करण क र ख कन करत ह , त आपक न म नल ख त म लत ह क य क व य त पन न क ग र फ म अन त स ख य म जड ह त ह , म ल फ क शन क अन त स ख य ह त ह स थ न य एक स ट र म । इस म ल फ क शन क ग र फ क द अधिक पढ़ें »

X = 0 पर न य नतम 0 ह , और अध कतम 4 ^ 4/4 ^ 4 ह x = 4 पहल ध य न द क , [0, oo) पर, f कभ नक र त मक नह ह । इसक अल व , च (0) = 0 त क न य नतम ह न च ह ए। f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x ज प ज ट व ह (0,4) और न ग ट व ऑन (4, oo)। हम यह न ष कर ष न क लत ह क f (4) एक स प क ष अध कतम ह । च क फ क शन क ड म न म क ई अन य महत वप र ण ब द नह ह , इसल ए यह स प क ष अध कतम भ प र ण अध कतम ह । अधिक पढ़ें »

Y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +26) - 4x (-x ^ 4 - रद द कर (5x ^ 2) + रद द कर (5x ^ 2) + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / ( x ^ 2 +5) ^ 4 अधिक पढ़ें »

न रप क ष अध कतम: x = pi / 8 प र ण म नट। सम पन ब द पर ह : x = 0, x = pi / 4 श र खल न यम क उपय ग करक पहल व य त पन न ख ज : u u = 2x; u '= 2, इसल ए y = sinu + cos uy' = (cosu) u '- (sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x y '= 0 और फ क टर: 2 (cos2x-sin2x) = 0 क स ट करक महत वप र ण स ख य ए ज ञ त कर । क स = प प ? जब u = 45 ^ @ = pi / 4 त x = u / 2 = pi / 8 द व त य व य त पन न क पत लग ए : y '= -4s22x-4cos2x यह द खन क ल ए ज च क क य आप द व त यक व य त पन न पर क षण क उपय ग करक pi / 8 पर अध कतम ह ? : y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0, इसल ए pi / 8 अ तर ल म प र ण अध कतम ह । सम पन ब द ओ क ज च कर : y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 अधिक पढ़ें »

न य नतम: f (x) = -6.237 at x = 1.147 अध कतम: f (x) = 16464 x = 7 पर हम क स द ए गए र ज म फ क शन क ल ए व श व क न य नतम और अध कतम म न ख जन क ल ए कह ज त ह । ऐस करन क ल ए, हम सम ध न क महत वप र ण ब द ओ क ख जन क जर रत ह , ज क x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1.147 क ल ए पहल व य त पन न और हल करक क य ज सकत ह । ज क वल महत वप र ण ब द ह त ह । व श व क एक सट र म क ख जन क ल ए, हम द ए गए र ज क अन स र x = 0, x = 1.147, और x = 7 पर f (x) क म न ज ञ त करन ह ग : x = 0: f (x) = 0 x = 1.147 : f (x) = -6.237 x = 7: f (x) = 16464 इस प रक र अ तर ल x पर इस फ क शन क प र ण व ल प तत x [0, 7] म न य नतम ह : f (x) = -6.237 x = = 147 पर अ अधिक पढ़ें »

क ई अध कतम नह । न य नतम 0. क ई अध कतम xrarr0, sinxrarr0 और lnxrarr-oo नह ह , इसल ए lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo त क ई अध कतम नह ह । क ई न य नतम ल ट g (x) = sinx + lnx और ध य न द क g क स भ सक र त मक a और b क ल ए [a, b] पर न र तर ह । g (1) = sin1> 0 "" और "g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g न र तर ह [e ^ -2,1] ज क सबस ट ह (0,9)। मध यवर त म न प रम य द व र , ज म [e ^ -2,1] म एक श न य ह त ह ज (0,9) क सबस ट ह त ह । वह स ख य f (x) = abs क ल ए एक श न य ह () sinx + lnx) (ज क ड म न म सभ x क ल ए ग र-नक र त मक ह न च ह ए।) अधिक पढ़ें »

X = ln (5) और x = ln (30) म झ लगत ह क प र ण एक स ट र म "सबस बड " एक (सबस छ ट म नट य सबस बड ) ह । आपक f ': f' (x) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x)) / (xe ^ x) ^ 2 f '(x) = (xcos) च ह ए (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx म [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> 0 इसल ए हम स इन (xcos) क आवश यकत ह x) - च क व व धत ओ क क रम म प प (x) (1 + x))। AAx म [ln (5), ln (30)], f '(x) <0 इसल ए f लग त र घट रह ह [ln (5), ln (30)] पर। इसक मतलब ह क इसक चरम ln (5) और ln (30) पर ह । इसक अध कतम f (ln (5)) = sin (ln (5)) / (ln (25)) ह और इसक min f (ln (30)) = sin (ln (30)) / (30ln (30) ह ) ) अधिक पढ़ें »

प र ण न य नतम 0 ह , ज x = 0 और x = 20 पर ह त ह । प र ण अध कतम 15root (3) 5 ह , ज x = 5 पर ह त ह । स भ व त ब द ज प र ण एक स ट र म ह सकत ह : टर न ग प इ ट; य न ऐस ब द जह ड ई / dx = 0 अ तर ल क अ त ब द हम र प स पहल स ह हम र सम पन ब द (0 और 20) ह , त आइए अपन म ड क द ख : f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) ( 20-x)) = 0 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x त एक म ड ह जह x = 5. इसक मतलब ह क 3 स भ व त ब द ज व ल प त ह सकत ह : x = 0 "" "" x = 5 "" "x = 20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ आइय इन म न क अधिक पढ़ें »

(1, 1 / e) द ए गए ड म न म एक प र ण अध कतम ह क ई न य नतम नह ह व य त पन न f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x) द व र द य गय ह ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ) ^ 2 क र ट कल व ल य तब ह ग जब व य त पन न बर बर 0 य अपर भ ष त ह ग । व य त पन न कभ अपर भ ष त नह ह ग (क य क e ^ (x ^ 2) और x न र तर क र य ह और e ^ (x ^ 2)! = 0 x क क स भ म ल य क ल ए। इसल ए यद f '(x) = 0: 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) ज स क ऊपर वर ण त ^ ^ (x ^ 2) कभ भ 0 क बर बर नह ह ग , इसल ए हम र एकम त र द महत वप र ण स ख य ए 0 = 1 -2x ^ 2 2x ^ 2 = 1 x ^ 2 = 1/2 x अधिक पढ़ें »

X = 1 पर -1.718 क एक अध कतम अध कतम ह और x = ln8 पर -5.921 क एक प र णतम न य नतम ह । एक अ तर ल पर प र ण व ल प तत न र ध र त करन क ल ए, हम फ क शन क महत वप र ण म न क ख जन ह ग ज अ तर ल क भ तर स थ त ह । फ र, हम अ तर ल और महत वप र ण म न क द न सम पन ब द ओ क पर क षण करन च ह ए। य ऐस स प ट ह जह महत वप र ण म ल य ह सकत ह । महत वप र ण म न ढ ढन : f (x) क महत वप र ण म न जब भ आत ह f (x) = 0। इस प रक र, हम एफ (एक स) क व य त पन न क पत लग न च ह ए। यद : "" "" "" "" "" "" च (x) = xe ^ x तब: "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x त , महत वप र ण म न तब ह ग जब अधिक पढ़ें »

X = -1 पर न य नतम और x = 3 पर अध कतम। f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) म स थ र ब द ह त ह (df) / (dx) = - (((x-3) (1 + x)) / (2 +) x + x ^ 2) ^ 2 = 0 इसल ए व x = -1 और x = 3 पर ह । उनक लक षण वर णन क स क त (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x- (x-) 3) x-9)) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 उन ब द ओ पर। (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> स प क ष न य नतम (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> स प क ष अध कतम। फ क शन प ल ट स लग न क य । अधिक पढ़ें »

क ई प र ण अध कतम य म न म नह ह , हम र प स x = 16 पर एक म क स म ह और x = 0 पर एक म न म ह जह म क स म द ख ई द ग जह f '(x) = 0 और f' '(x) <0 for f (x) = (x) +1) (x-8) ^ 2 + 9 f '(x) = (x-8) ^ 2 + 2 (x + 1) (x-8) = (x-8) (x-8 + 2x +) 2) = (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) यह स पष ट ह क जब x = 2 और x = 8 ह त ह , त हम र प स एक सट रम ह त ह ल क न f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 और x = 2 पर, f '' (x) = - 18 और x = 8 पर, f '' (x) = 18 इसल ए जब x म x 0,16] हम र प स x = 2 पर एक स थ न य म क स म ह और x = 8 पर एक स थ न य म न म ह ज एक प र ण म क स म य म न म नह ह । अ तर ल [0,16] म , हम र प स x = अधिक पढ़ें »

प र ण न य नतम ह -25/2 (x = -sqrt (25/2) पर)। प र ण अध कतम 25/2 (x = sqrt (25/2)) ह । f (-4) = -12 और f (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (रद द कर (2) sqrt (25-x ^ 2)) * - रद द कर () 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) f क महत वप र ण स ख य ए x = + ह -sqrt (25/2) य द न [-4,5] म ह .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt ( 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 समर पत (f व षम ह ), f (sqrt (25/2)) = 25/2 स र श: f (-4) = -12 f (-sqrt) (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 न रप क ष न य नतम -25/2 (x = -sqrt (25/2)) ह । प र ण अध कतम 25/2 (x = sqrt (25/2)) ह । अधिक पढ़ें »

अ तर ल (2, 5) क द खत ह ए प र ण न रप क षत नह ह : f (x) = x - sqrt (5x - 2) in (2, 5) प र ण व ल प तत क पत लग न क ल ए हम पहल व य त पन न ख जन और पहल व य त पन न करन क आवश यकत ह क स भ न य नतम य अध कतम क ख जन क ल ए पर क षण कर और फ र अ त म ब द ओ क y म न क ख ज और उनक त लन कर । पहल व य त पन न ख ज : f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (- 1/2) (5) f '(x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) महत वप र ण म न ज ञ त कर (s) f' (x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 0 1 = 5 / / 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 द न पक ष क वर ग: 5x - 2 = + - 25/4 च क फ क शन क ड म न कट टरप थ द व र स म त ह : 5x - अधिक पढ़ें »

प र ण अध कतम: (5, 1/10) प र ण न य नतम: (0, 0) द य गय : f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "अ तर ल पर" [0, 9] न रप क ष व ल पन क म ल य कन करक प य ज सकत ह ए डप इ ट स और क स भ र श त द र म क स मम य म न मम और उनक व ई-व ल य क त लन करन । अ त म ब द ओ क म ल य कन कर : f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => ( 9, 9/106) ~~ (9, .085) f '(x) = 0. स ट करक क स भ स प क ष न य नतम य अध कतम शब द क पत लग ए । भ गफल न यम क उपय ग कर : (u / v)' = (vu '- uv') / v ^ 2 Let u = x; "" य '= 1; "" व = एक स ^ 2 + 25; "" v '= 2x f' (x) = ((x ^ 2 + 25) (1) अधिक पढ़ें »

प र ण एक सट र म नह ह क य क f (x) अनब उ ड ह स थ न य एक सट रम ह : स थ न य अध कतम: x = -1 स थ न य न य नतम: x = 1 प रभ व ब द x = 0 प र ण एक स ट र म नह ह क य क lim_ (x rarr + -oo) f ( x) rarr + -oo आप स थ न य व ल पन प सकत ह , यद क ई ह । एफ (एक स) एक सट र म य महत वप र ण कव त ओ क ख जन क ल ए हम एफ '(एक स) क गणन करन ह ग जब एफ' (एक स) = 0 => एफ (एक स) म एक स थ र ब द (म क स, म नट य व भक त ब द ) ह त ह । तब हम यह पत लग न ह ग क कब: f '(x)> 0 => f (x) f बढ रह ह ' (x) <0 => f (x) कम ह रह ह इसल ए: f '(x) = d / dx (5x) ^ 7-7x ^ 5-5) = 35x ^ 6-35x ^ 4 + 0 = 35x ^ 4 (x ^1): .f '(x) = 35x ^ 4 (x + अधिक पढ़ें »

हम अ तर ल (१,४] म च (x) क महत वप र ण म ल य क ख जन क आवश यकत ह । इसल ए हम पहल व य त पन न क जड क गणन करत ह इसल ए हम र प स (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 So f ( 2) = 5 इसक अल व , हम अ त म ब द ओ पर f क म न प त ह इसल ए f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 सबस बड फ क शन म न x = 4 पर ह इसल ए f (4) ) = 16.5 f [1,4] म f क ल ए प र णतम अध कतम ह । सबस छ ट फ क शन म न x = 1 ह इसल ए f (1) = 3 f क ल ए प र णतम न य नतम ह [1,4] [1] म f क ग र फ , 4] ह अधिक पढ़ें »

प र ण एक स ट र म य त स म ओ पर, स थ न य एक स ट र म पर, य अपर भ ष त ब द ओ पर ह सकत ह । हम स म ओ क म न x (3) x = 3 और x = 7 पर म लत ह । यह हम f (3) = 1 और f (7) = 7/43 द त ह । फ र, व य त पन न द व र स थ न य एक स ट र म क पत लग ए । F (x) = x / (x ^ 2-6) क व य त पन न भ गफल न यम क उपय ग करक प य ज सकत ह : d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (DV) / dx) / v ^ 2 जह u = x और v = x ^ 2-6। इस प रक र, f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2। स थ न य एक सट र म तब ह त ह जब f '(x) = 0 ह त ह , ल क न कह भ x म [3,7] f' (x) = 0 नह ह त ह । फ र, क ई अपर भ ष त ब द ख ज । ह ल क , [3,7] म सभ x क ल ए, f (x) पर भ ष त ह । इसल ए, इसक मतलब ह क अधिक पढ़ें »

X = 1 पर -1 क न य नतम न य नतम और x = 3 पर 19 क प र ण अध कतम। एक अ तर ल क प र ण व ल पन क ल ए द उम म दव र ह । व अ तर ल क अ तब द (यह , 0 और 3) और अ तर ल क भ तर स थ त फ क शन क महत वप र ण म न ह । महत वप र ण म न क फ क शन क व य त पन न और ख जन क ल ए प य ज सकत ह क x क क न म न क बर बर ह । 0. हम प वर न यम क उपय ग यह पत लग न क ल ए कर सकत ह क व य त पन न f (x) = x ^ 3-3x + 1 f 'ह ( x) = 3x ^ 2-3। महत वप र ण म न तब ह त ह जब 3x ^ 2-3 = 0, ज x = + - 1 ह न क ल ए सरल करत ह । ह ल क , x = -1 अ तर ल म नह ह , इसल ए यह क वल म न य महत वप र ण म न x = 1 ह । अब हम ज नत ह क प र ण एक स ट र म x = 0, x = 1 और x = 3 पर ह सकत ह । यह न र ध र त क अधिक पढ़ें »

स थ न य म न म । -2187/128 ह । ग ल बल म न म = -2187 / 128 ~ = -17.09। ग ल बल म क स म = 64। एक स ट र म क ल ए, f '(x) = 0। f '(x) = (एक स 2) * 3 (एक स 5) ^ 2 + (एक स 5) ^ 3 * 1 = (एक स 5) ^ 2 {3x-6 + एक स 5] = (4x -11) (एक स 5) ^ 2। f '(x) = ० rArr x = ५! [१,४] म , इसल ए आग क ल ए क ई आवश यकत नह ह और x = ११ / ४। f '(x) = (4x-11) (x-5) ^ 2, rrr f' '(x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (एक स 5) {4x-11 + 2x-10} = 2 (एक स 5) (6x -21)। अब, f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, द ख रह ह क , f (11 /) 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187 / 128, स अधिक पढ़ें »

(-4, -381) और (8,2211) एक सट र म क ख जन क ल ए, आपक फ क शन क व य त पन न ल न और व य त पन न क जड क ख जन क आवश यकत ह । अर थ त d / dx [f (x)] = 0 क ल ए हल कर , शक त न यम क उपय ग कर : d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36 जड क ल ए हल कर : 18x ^ 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0, क रक द व घ त: (x-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 स म क ज च कर : f (-4) = -381 f (8) = 2211 इस प रक र प र ण व ल म ह (-4, -) 381) और (8,2211) अधिक पढ़ें »

प र ण न य नतम 0 ह (x = 0 पर) और प र ण अध कतम 1 (x = 1 पर) ह । f '(x) = ((1) (x ^ 2-x + 1) - (x) (2x-1)) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 = (1-x ^ 2) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) कभ अपर भ ष त नह ह और x = -1 पर 0 ह (ज [0,3] म नह ह ) और x = 1 पर ह । प र ण वत र क अ त ब द और अ तर ल म महत वप र ण स ख य क पर क षण करन , हम प त ह : f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 इसल ए, प र ण न य नतम 0 ह (x = 0 पर) प र ण अध कतम 1 ह (x = 1 पर)। अधिक पढ़ें »

उत तर क ल ए न च क ज च कर x = 0 क ल ए हम र प स f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 ह , हम एक नए फ क शन g (x) = xe ^ (- x) +1, xinRR ज (0) पर व च र करत ह । ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR पर ण मस वर प RR म g बढ रह ह । इस प रक र क य क यह सख त स बढ त ज ह "1-1" (एक स एक) त , एफ (0) -ई ^ (- एफ (0)) + 1 = 0 <=> ज (एफ (0)) = ज ( 0) <=> f (0) = 0 हम उस x / 2 क द ख न क आवश यकत ह ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (एक स 0)अधिक पढ़ें »

न च द ख म इस ब र म 100% न श च त नह ह , ल क न यह म र जव ब ह ग । सम क र य क पर भ ष f (-x) = f (x) इसल ए, f (-a) = f (a) ह । च क f (a) न र तर ह और f (-a) = f (a) ह , त f (-a) भ न र तर ह । अधिक पढ़ें »

ड ई / dx = tanh (lnx) / x - tanx म समस य क y क बर बर स ट करन पस द करत ह यद यह पहल स ह नह ह । इसक अल व यह हम र म मल क लघ गणक क ग ण क उपय ग करक समस य क फ र स ल खन म मदद कर ग ; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) अब हम समस य क पढ न म आस न बन न क ल ए द प रत स थ पन करत ह ; म न ल ज ए क w = cosh (lnx) और u = cosx अब; y = ln (w) + ln (u) आह, हम इसक स थ क म कर सकत ह :) चल द न पक ष क एक स क स ब ध म व य त पन न ल त ह । (च क हम र क ई भ चर x नह ह , इसक न ह त अ तर ह ग ) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) ख र, हम lnx क व य त पन न क 1 / x म नत ह और श र खल न यम क उपय ग करक हम प र प त करत ह ; dy / dx = 1 / w * (dw) / dx + अधिक पढ़ें »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) यह एक प रत स थ पन जबरदस त मदद कर ग ! म न ल ज ए क x ^ (1/2) = u now, y = e ^ u हम ज नत ह क e ^ x क व य त पन न e ^ ^ ह ; ड ई / ड एक स = ई ^ य * (ड ) / ड एक स क उपय ग च न न यम ड / ड एक स एक स ^ (1/2) = (ड ) / ड एक स = 1/2 * एक स ^ (- 1/2) = 1 / ( 2sqrt (x)) अब प लग (du) / dx और u क सम करण म व पस ल ए : D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) अधिक पढ़ें »

(1,1) और (1, -1) म ड ह । y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 न ह त अ तर क उपय ग करत ह ए, 3y ^ 2times (ड ई) / (dx) + 3xtimes2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 (0) (ड ई) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 (ड ई) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x)) (ड ई) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) म ड ब द ओ क ल ए, (ड ई) / (dx) = 0 (x ^ 2-y ^ 2) / (y +) 2x) = 0 x ^ 2-y ^ 2 = 0 (xy) (x + y) = 0 y = x य y = -x Sub y = x व पस म ल सम करण म x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 इसल ए (1,1) 2 म ड ब द ओ म स एक ह उप y = -x व पस म ल सम करण म x ^ 3 + 3x * (- x ) ^ 2-x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 इसल ए, (1, -1) अन य म ड अधिक पढ़ें »

(0, -2) एक क ठ ब द ह (-5,3) एक स थ न य न य नतम ह ज स हम g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y सबस पहल द य ज त ह , पहल हम ख जन ह ग ऐस ब द जह (delg) / (delx) और (delg) / (dely) द न सम न 0. (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 (delg) / (dely) = 6x + 6y = 2-24 6 (x + y + 2) = 0 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0 (y-3) (y + 2) = 0 y = 3 य -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 महत वप र ण ब द (0, -2) पर आत ह और (-5,3) अब वर ग क त करन क ल ए: f (x, y) क न र ध रक D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2) द व र द य गय ह । ) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = de अधिक पढ़ें »

चल क छ पर भ ष ओ म ड लकर श र करत ह । यद हम ब क स क ऊ च ई और x क छ ट भ ज ए कहत ह (त बड भ ज ए 2x ह , त हम कह सकत ह क आयतन V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 ज सम स हम hh = 9000 / न क लत ह ) (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 अब सतह (= स मग र ) क ल ए ऊपर और न च : 2x * x ग ण 2-> क ष त र = 4x ^ 2 लघ पक ष: x * h ब र 2-> क ष त र = 2xh ल ब पक ष: 2x * h ब र 2-> क ष त रफल = 4xh क ल क ष त रफल: A = 4x ^ 2 + 6xh h क ल ए प रत स थ प त करन व ल = A 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 न य नतम ख जन क ल ए, हम अ तर करत ह और A क 0 'A' = 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 पर स ट करत ह , ज सस 8x ^ अधिक पढ़ें »

क पर भ ष क ड म न: f (x) = 2x ^ 2lnx अ तर ल x ह (0, + oo) म । फ क शन क पहल और द सर ड र व ट व क म ल य कन कर : (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx महत वप र ण ब द ओ क सम ध न ह : f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 और x क र प म > 0: 1 + 2lnx = lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) इस ब द म : f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 इसल ए महत वप र ण ब द एक स थ न य न य नतम ह । क ठ अ क क सम ध न ह : f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 और ज स क f '' (x) म न ट न बढ रह ह , हम यह न ष कर ष न क ल सकत ह क f (x) ) x <1 / e ^ 6 क अधिक पढ़ें »

इस फ क शन क क ई स थ र ब द नह ह (क य आप स न श च त ह क f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 / y / x वह ह ज स आप अध ययन करन च हत थ ?)। क ठ अ क (स थ र अ क ज एक स ट र म नह ह ) क सबस अध क फ ल ह ई पर भ ष क अन स र, आप आरआर ^ 2 = आरआर ^ 2 स टम नस {(0) म इसक ड म न ड = (x, y) म फ क शन क स थ र ब द ओ क ख ज रह ह । , आर) ^ 2} म । अब हम न म नल ख त तर क स f क ल ए द ए गए एक सप र शन क फ र स ल ख सकत ह : f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x उन ह पहच नन क तर क उन ब द ओ क ख ज करन ह ज क क रण क ग र ड ए ट क कम करत ह f, ज आ श क व य त पन न क व क टर ह : nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) च क ड म न एक ख ल स ट ह , इसल ए हम ख ज करन अधिक पढ़ें »

{: ("क र ट कल प इ ट", "न ष कर ष"), (0,0), "म नट"), (-1, -2), "क ठ "), (-1,2), "क ठ " ), ((-5 / 3,0), "अध कतम"):} z = f (x, y) क व ल प तत क पहच न करन क स द ध त ह : एक स थ महत वप र ण सम करण क हल कर (आ श क f) / (आ श क x) = (आ श क f) / (आ श क y) = 0 ((z_x = z_y = 0) f__ (xx), f_ (yy) और f_ (xy) (= f_ (yx) क म ल य कन कर ) । इसल ए ड ल ट = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ इन ब द ओ म स 2 क म ल य कन एक सट र म क प रक त क न र ध र त कर ; {: (Delta> 0, "न य नतम ह अगर" f_ (xx) <0), (, ", और एक अध कतम अगर" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "एक क ठ ब द ह अधिक पढ़ें »

हम र प स: f (x, y) = 6sin (-x) प प ^ 2 (y) -6sinxsin ^ 2y चरण 1 - आ श क ड र व ट व स क पत लग ए , ज नक हम आ श क व य त पन न गणन करत ह । wrt एक व र एबल क व भ द त करक द य अध क चर क एक फ क शन, जबक अन य चर क स थ र म न ज त ह । इस प रक र: पहल ड र व ट व स ह : f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y द सर ड र व ट व स (उद ध त): f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = 6xin 2cos2y) = -12sinxcos2y द सर आ श क क र स-ड र व ट व स ह : f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2xinycosy) = -6cosxsin2y ध य न द क द सर आ श क क र स ड र व ट व च (x, y) क न र तरत क क रण सम न। चरण 2 - महत वप र ण ब द ओ क पहच न कर f_x = f_y = 0 iff अधिक पढ़ें »

X = pi / 2 और y = pi x = pi / २ और y = -pi x = -pi / २ और y = pi x = -pi / २ और y = -pi x = pi और y = pi / २ x = pi और y = -pi / 2 x = -pi और y = pi / 2 x = -pi और y = -pi / 2 2-चर फ क शन क महत वप र ण ब द ओ क ख जन क ल ए, आपक ढ ल क गणन करन क आवश यकत ह , ज एक व क टर ह ज प रत य क चर क स ब ध म व य त पन न ह : (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) त , हम र प स d / dx f (x, y) = 6cos (x) ह ) प प (y), और इस तरह d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y)। महत वप र ण ब द ओ क ख जन क ल ए, ढ ल श न य व क टर (0,0) ह न च ह ए, ज सक अर थ ह स स टम क हल करन {(6cos (x) प प (y) = 0), (6sin (x) cos (y) =) 0):} ज न श च त र प स हम 6 स छ टक र प न क सरल बन सक अधिक पढ़ें »

{0,0} क ठ ब द {0, -2} स थ न य अध कतम f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2) इसल ए क रम क ब द ओ क हल f (x, y) = द व र हल क य ज त ह vec 0 य {(-2 e ^ yx = 0), (2 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2) = 0):} द सम ध न द रह ह ((x = 0, y = 0) ), (x = 0, y = -2)) व ब द H = grad (ग र ड f (x, y)) य H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx), (- 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) त H (0,0) = ((-2, 0), (0, 2) )) म eigenvalues {-2,2} ह । यह पर ण म ब द {0,0} क एक क ठ ब द क र प म उत त र ण करत ह । H (0, -2) = (((2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) म eigenvalues {-2 / e ^ 2, -2 / e ^ 2} ह । यह पर ण म स थ न य अध कतम क र प म ब द {0, -2} क उत त र ण अधिक पढ़ें »

अ क (0,0), (1,0), और (0,1) क ठ अ क ह । ब द (1 / 3,1 / 3) एक स थ न य अध कतम ब द ह । हम f स f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 क व स त र कर सकत ह । इसक ब द, आ श क ड र व ट व ख ज और उन ह श न य क बर बर स ट कर । frac { आ श क f} { आ श क x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { आ श क f} { आ श क y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 स पष ट र प स , (x, y) = (0,0), (1,0), और (0,1) इस प रण ल क सम ध न ह , और इसल ए f क महत वप र ण ब द ह । अन य सम ध न प रण ल 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0 स प य ज सकत ह । X क स दर भ म y क ल ए पहल सम करण हल करन स y = 1-2x प र प त ह त ह , ज स 1-x-2 (1-2x) = 0 = -1 + 3x = 0 => x प र प त करन क ल ए द सर सम करण म प लग क य ज अधिक पढ़ें »

एक क ठ ब द {x = -63/725, y = -237/725} पर स थ त ह । स थ र स क त {x, y} grad f (x, y) = (9 + 2 x + 27 y) क हल करन क ल ए न र ध र त क ए ज त ह । ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 पर ण म प र प त करन {x = -63/725, y = -237/725} इस स थ र ब द क य ग यत वर णव यवस थ बह पद स ज ड जड क द खन क ब द क ज त ह । अपन ह स यन म ट र क स क ल ए। ह स यन म ट र क स H = grad (ग र ड ए ट f (x, y)) = ((2,27), (27,2)) क वर णक रम य बह पद p (ल ब दर) = lambda ^ 2- "ट र स" (H) क स थ प र प त क य ज त ह । lambda + det (H) = lambda ^ 2-4 lambda-725 lambda क ल ए सम ध न हम lambda = {-25,29} प र प त करत ह ज व पर त स क त क स थ ग र श न य ह ज एक क ठ ब द क व श ष अधिक पढ़ें »

म झ क ई क ठ अ क नह म ल , ल क न एक न य नतम थ : एफ (1/3, -2 / 3) = -1/3 एक सट र म क ख जन क ल ए, एक स और व ई क स ब ध म आ श क व य त पन न क द ख क क य द न आ श क व य त पन न कर सकत ह एक स थ बर बर 0. ((delf) / (ड ल एक स)) _ y = 2x + y ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 यद उन ह एक स थ 0 बर बर ह न च ह ए, त व सम करण क एक प रण ल बन त ह : 2 (ए) 2x + y + 0 = 0) x + 2y + 1 = 0 सम करण क यह र ख क प रण ल , जब y क रद द करन क ल ए घट य ज त ह : 3x - 1 = 0 => र ग (हर ) (x = 1/3) => 2 (1/3) + y = 0 => र ग (हर ) (y = -2/3) च क सम करण र ख क थ , क वल एक महत वप र ण ब द थ , और इस प रक र क वल एक चरम। द सर व य त पन न हम बत एग क क य यह अ अधिक पढ़ें »

न च द ए गए उत तर द ख : 1. फ र स फ टव यर क ल ए धन यव द ज सन हम ग र फ क स क समर थन क य । http://www.geogebra.org/ 2. व ब स इट व ल फर मअल फ क ल ए धन यव द, ज सन हम न ह त क र य क स थ स स टम क स ख य त मक सम ध न प रद न क य ह । http://www.wolframalpha.com/ अधिक पढ़ें »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 x- अक ष क च र ओर एक फ क शन च क घ म कर उत प द त ठ स क आयतन ज ञ त करन क स त र V = int_a ^ bpi [f (x)] ^ 2dx ह त f (x) = क ल ए cotx, pi "/" 4 और pi "/" 2 क ब च क र त क ठ स ह न क म त र ह V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2xx = piint_ (pi) "/" 4) ^ (अन करण य "/" 2) ख ट ^ 2xdx = piint_ (अन करण य "/" 4) ^ (अन करण य "/" 2) स एसस ^ 2x-1DX = -pi [Cotx + x] _ (अन करण य " / "4) ^ (अन करण य" / "2) = - अन करण य ((0-1) + (pi / 2-pi / 4)) = अन करण य-1 / 4pi ^ 2 अधिक पढ़ें »

म ल म स डल प इ ट। हम र प स: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x और इसल ए हम आ श क व य त पन न प र प त करत ह । य द रख क जब आ श क र प स व भ द त क य ज त ह , त हम अन य चर क स थ र म नकर प रश न म चर क अलग करत ह । और इसल ए: (आ श क f) / (आ श क x) = 2xy-y ^ 2 और (आ श क f) / (आ श क y) = x ^ 2-2yx एक व ल म य क ठ ब द पर हम र प स ह : ( आ श क f) / (आ श क x) = 0 और (आ श क f) / (आ श क y) = 0 एक स थ: य न क एक स थ सम ध न: 2xy-y ^ 2 = 0 => y ( 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y इसल ए क वल एक ह म ल म महत वप र ण ब द (0,0)। महत वप र ण ब द क प रक त क स थ प त करन क ल ए, बह -चर ट लर श र खल क अधिक पढ़ें »

ब द (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) लगभग (1.26694,1.16437) एक स थ न य न य नतम ब द ह । प रथम-क रम आ श क व य त पन न ह (आ श क f) / (आ श क x) = y-3x ^ {- 4} और (आ श क f) / (आ श क y) = x-2y ^ {- 3}। स स टम y = 3 / x ^ (4) और x = 2 / y ^ {3} म श न य पर ण म क बर बर इन द न क स ट करन । द सर सम करण म पहल सम करण क x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 द त ह । च क ड म न म x! = 0 क ब द स , इसक पर ण म x ^ {11} = 27/2 और x = (27/2) ^ {1/11} ह त क y = 3 / ((27/2) ^ {४/११}) = ३ * (२/२}) ^ {४/११} द सर क रम आ श क व य त पन न ह (आ श क ^ {२} f) / (आ श क x ^ {२}) = १२x ^ {- ५ }, (आ श क ^ {2} f) / (आ श क y ^ {2}) = अधिक पढ़ें »

हम र प स (३, ३,२ have) पर एक एक स ट र म ह : f (x, y) = xy + २ / / x + २ we / y और इसल ए हम आ श क व य त पन न प र प त करत ह : (आ श क f) / (आ श क x) = y - 27 / x ^ 2 और (आ श क f) / (आ श क y) = x - 27 / y ^ 2 हम र प स एक व ल म य क ठ ब द पर: (आ श क f) / (आ श क x) = 0 और (आ श क f) / (आ श क y) = 0 एक स थ: य न क एक स थ सम ध न: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 इन सम करण क घट कर द त ह : x ^ 2y-xy ^ 2 = 0:। xy (x-y) = 0:। एक स = 0; y = 0; x = y हम x = 0 क सम प त कर सकत ह ; y = 0 और इसल ए x = y एकम त र म न य सम ध न ह , ज इस ओर ज त ह : x ^ 3 = 27 => x = y = 3 और x = y = 3 क स थ, हम र अधिक पढ़ें »

(0,0) एक स डल प इ ट ह (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) और (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) ल कल म क स म ह (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) स थ न य म न म (0, द पहर 1 / sqrt 2) ह और (pm 1 / sqrt 2,0) व भक त क ब द ह । एक स म न य फ क शन F (x, y) क ल ए एक स थ र ब द पर (x_0, y_0) क स थ हम र प स ट लर श र खल व स त र F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0 + + 1/2) ह ! (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots फ क शन क ल ए f (x) = xy e ^ {- x 2 = y ^ 2} हम र प स ह (ड ल f) / (ड ल x) = त ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (ड ल f) / (ड ल y) = xe ^ {- x ^ 2-y अधिक पढ़ें »

हम र प स ह : f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) चरण 1 - आ श क ड र व ट व ज ञ त कर हम एक चर क अलग करत ह ए द य द स अध क चर क फ क शन क आ श क व य त पन न क गणन करत ह । जबक अन य चर क स थ र म न ज त ह । इस प रक र: पहल व य त पन न ह : f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) द सर ड र व ट व स (उद ध त) ह : f_ (xx) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ ( -x ^ 2-y ^ 2) द सर आ श क क र स-ड र व ट व स ह : f_ (xy) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yx) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2) -y ^ 2) ध य न द क f (x अधिक पढ़ें »

{: ("क र ट कल प इ ट", "न ष कर ष"), (0,0,0), "क ठ "):} स द ध त z = f (x, y) क व ल प तत क पहच न करन क ल ए ह : एक स थ महत वप र ण सम करण क हल कर । (आ श क f) / (आ श क x) = (आ श क f) / (आ श क y) = 0 ((f_x = f_y = 0) f_ (xx), f_ (yy) और f_ (xy (= f_) क म ल य कन कर (yx)) इन महत वप र ण ब द ओ म स प रत य क पर। इसल ए ड ल ट = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ इन ब द ओ म स 2 क म ल य कन एक सट र म क प रक त क न र ध र त कर ; {: (Delta> 0, "न य नतम ह अगर" f_ (xx) <0), (, ", और एक अध कतम अगर" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "एक क ठ ब द ह ") , (ड ल ट = 0, "आग क व श ल षण आवश यक अधिक पढ़ें »

हम श अ तर ल पर फ क शन क स क च क स थ श र कर । अ तर ल [1,6] पर, ग र फ इस तरह द खत ह : ज स क ग र फ स द ख गय ह , फ क शन 1 स 6. बढ रह ह , इसल ए, क ई स थ न य न य नतम य अध कतम नह ह । ह ल क , प र ण व र म अ तर ल क अ त ब द पर म ज द ह ग : प र ण न य नतम: f (1) = 11 प र ण अध कतम: f (6) = 1/216 + 60 ~~ 60.005 उम म द ह क मदद क अधिक पढ़ें »

अध कतम f = 1. क ई न य नतम नह ह । y = च (x) = 1-sqrtx। ग र फ ड ल गय ह । यह चत र भ ज Q_1 और Q_4 म एक अर ध परवलय क प रत न ध त व करत ह , ज सम x> = 0 ह त ह । अध कतम y अ त म ह (0, 1)। ब शक, क ई न य नतम नह ह । ध य न द क , x स oo, y स -oo तक। म ल सम करण (y-1) ^ 2 = x ह ज स y = 1 + -sqrtx म अलग क य ज सकत ह । ग र फ {y + sqrtx-1 = 0 [-2.5, 2.5, -1.25, 1.25]} अधिक पढ़ें »

X = -1 पर व श व क न य नतम 2 और अ तर ल पर -2 -2 पर व श व क अध कतम 27 x = 4 ह । ग ल बल एक स ट र म एक अ तर ल पर द स थ न पर ह सकत ह : एक सम पन ब द पर य अ तर ल क भ तर एक महत वप र ण ब द पर। सम पन ब द , ज स हम पर क षण करन ह ग , x = -2 और x = 4 ह । क स भ महत वप र ण ब द क ख जन क ल ए, व य त पन न क ढ ढ और इस 0. f (x) = 2 + (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 क स थ प वर न यम, f '(x) क बर बर स ट कर = 2x + 2 0, 2x + 2 = 0 "=" "=" "x = -1 क बर बर स थ प त करन x = -1 पर एक महत वप र ण ब द ह , ज सक अर थ ह क यह एक व श व क चरम भ ह सकत ह । अ तर ल क ल ए अध कतम और न य नतम ख जन क ल ए त न ब द ओ क पर क षण कर : f (-2) = अधिक पढ़ें »

F (x) क प र ण क अध कतम x = 1 f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3 f (x) पर न र तर ह त ह [-oo, + oo] पर क य क f (x) एक परवल ह x ^ 2 म एक -२ ग ण क व ल शब द क स थ, f (x) क एकल प र ण अध कतम ह ग जह f '(x) = 0 f' (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f ( 1) = -2 + 4-3 = -1 इस प रक र: f_max = (1, -1) यह पर ण म न च f (x) क ग र फ पर द ख ज सकत ह : ग र फ {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 , 5.59, -3.343, 0.554]} अधिक पढ़ें »

X_1 = -2 अध कतम x_2 = 1/3 न य नतम ह । पहल हम पहल व य त पन न क श न य: f '(x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0 हम द त ह ए महत वप र ण ब द ओ क पहच न करत ह : हम x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = ( -5 + - 7) / 6 x_1 = -2 और x_2 = 1/3 अब हम महत वप र ण ब द ओ क च र ओर द सर व य त पन न क स क त क अध ययन करत ह : f '' (x) = 12x + 10 त क : f '' (- 2) <0 य न x_1 = -2 एक अध कतम f '' (1/3)> 0 ह ज x_2 = 1/3 न य नतम ह । ग र फ {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} अधिक पढ़ें »

ड म न पर न य नतम न य नतम लगभग ह त ह । (pi / 2, 3.7124), और ड म न पर न रप क ष अध कतम लगभग ह त ह । (3pi / 4, 5.6544)। क ई स थ न य एक स ट र म नह ह । श र करन स पहल , हम व श ल षण करत ह और द खत ह क क य प प x 0 क म ल य पर अ तर ल पर क स भ ब द पर ल त ह । प प x सभ x क ल ए श न य ह ज स क x = npi। pi / 2 और 3pi / 4 द न pi स कम और 0pi = 0 स अध क ह ; इस प रक र, प प x यह श न य क म ल य पर नह ल त ह । इस न र ध र त करन क ल ए, य द रख क एक चरम य त ह त ह जह f '(x) = 0 (महत वप र ण ब द ) य अ त म ब द ओ म स एक पर। इस ध य न म रखत ह ए, हम उपर क त f (x) क व य त पन न क ल त ह , और ऐस ब द ख जत ह जह यह व य त पन न 0 (df) / dx = d / dx (3x) - अधिक पढ़ें »

F (x) क x = 2 पर न य नतम ह न ह आग बढ न स पहल , ध य न द क यह एक ऊपर क ओर परब ल ह , ज सक अर थ ह क हम आग क गणन क ब न ज न सकत ह क इसक क ई अध कतम म नह ह ग , और इसक श र ष पर एक न य नतम। वर ग प र करन स हम पत चलत ह क f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, श र ष द रह ह , और इस प रक र एकम त र न य नतम, x = 2. चल द खत ह क यह पथर क स थ क स क य ज एग , ह ल क । क ई भ एक सट र म य त एक महत वप र ण ब द पर य द ए गए अ तर ल क सम पन ब द पर ह ग । ज स क हम र (-oo, oo) द य गय अ तर ल ख ल ह , हम ए डप इ ट क स भ वन क नजरअ द ज कर सकत ह , और इसल ए हम पहल फ क शन क महत वप र ण ब द ओ क पहच न कर ग , अर थ त, वह ब द ज स पर फ क शन क व य त पन न 0 ह य अस त त व म नह ह । f अधिक पढ़ें »

चल द खत ह । द ए गए फ क शन क y ऐस ह न च ह ए क rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 अब अलग करन x: ड ई / dx = -2x + 2 अब द सर क रम व य त पन न ह : (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 अब, द सर क रम व य त पन न ऋण त मक ह । इसल ए, फ क शन म क वल एक स ट र म और क ई म न म नह ह । इसल ए म क स म क ब त -2 ह । फ क शन क अध कतम म न f (-2) ह । आश करत ह क य क म कर ग :) अधिक पढ़ें »

चल द खत ह । बत ए गए फ क शन y ह ज स क द ए गए र ज म x क क स भ म न क ल ए rarr। y = f (x) = - 3x ^ 2 + 30x-74: .dy / dx = -6x + 30:। (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -6 अब, फ क शन क द सर क रम व य त पन न क ब द स । नक र त मक, f (x) क म न अध कतम ह ग । इसल ए, म क स म य एक स ट र म क ब द क वल प र प त क य ज सकत ह । अब, म क स म य म न म क ल ए, ड ई / dx = 0:। - 6x + 30 = 0: .6 = = 30: .x = 5 इसल ए, म क स म क ब द 5. (उत तर) ह । त , अध कतम म न य f (x) क चरम म न f (5) ह । : .f (5) = - 3. (5) ^ 2 + 30.5-74: .f (5) = - 75 + 150-74: .f (5) = 150-149: .f (5) = 1। । आश करत ह क य क म कर ग :) अधिक पढ़ें »

फ क शन म क ई एक स ट र म नह ह । F '(x) भ गफल न यम स ज ञ त क ज ए। f '(x) = ((x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2) -1) -3x (2x)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 फ क शन क टर न ग प इ ट स क पत लग ए । य तब ह त ह जब फ क शन क व य त पन न 0. बर बर 'f' (x) = 0 ह त ह , जब अ श 0.3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f 'क बर बर ह त ह (x) कभ भ 0. क बर बर नह ह । इस प रक र, फ क शन म क ई एक स ट र म नह ह । ग र फ {(3x) / (x ^ 2-1) [-25.66, 25.66, -12.83, 12.83}} अधिक पढ़ें »

फ क शन म x = 3 पर न य नतम ह त ह जह f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1 1 व य त पन न हम एक व श ष ब द पर र ख क ढ ल द त ह । यद यह एक स थ र ब द ह त यह श न य ह ग । f '(x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 यह द खन क ल ए क हम र प स क स प रक र क स थ र ब द ह , हम यह द खन क ल ए पर क षण कर सकत ह क क य 1 व य त पन न बढ रह ह य घट रह ह । यह 2 व य त पन न क स क त द व र द य गय ह : f '' (x) = 8 च क यह + ve ह 1 व य त पन न क f (x) क ल ए न य नतम इ ग त करत ह ए बढ न च ह ए। ग र फ {(4x ^ 2-24x + 1) [-20, 20, -40, 40]} यह च (3) = 4xx3 ^ 2- (24xx3) + 1 = -35 अधिक पढ़ें »

अध कतम x = 1 और न य नतम x = 0 म ल फ क शन क व य त पन न ल : f '(x) = 18x-18x ^ 2 यह न र ध र त करन क ल ए 0 क बर बर स ट कर क व य त पन न फ क शन एक सक र त मक स ऋण त मक म बदल ज एग । , यह हम बत एग क जब म ल क र य म इसक ढल न सक र त मक स नक र त मक म बदल ज एग । 0 = 18x-18x ^ 2 फ क टर सम करण स एक 18x 0 = 18x (1-x) x = 0,1 एक ल इन बन ए और म न क प ल ट कर 0 और 1 म न क दर ज कर 0 स पहल , 0 क ब द, 1 स पहल , और उसक ब द म न दर ज कर 1 फ र इ ग त कर क ल इन प ल ट क क न स भ ग सक र त मक ह और क न स नक र त मक ह । यद प ल ट ऋण त मक स प ज ट व (उच च ब द पर कम ब द ) पर ज त ह , त यह म न ह त ह यद यह प ज ट व स न ग ट व (ह ई स ल ) ह ज ए त यह अध अधिक पढ़ें »

अ तर ल पर महत वप र ण म न क पत लग ए (जब f '(c) = 0 य म ज द नह ह )। f (x) = 64-x ^ 2 f '(x) = - 2x स ट f' (x) = 0। -2x = 0 x = 0 और f '(x) क हम श पर भ ष त क य ज त ह । एक स ट र म क ख जन क ल ए, सम पन ब द और महत वप र ण म न म प लग कर । ध य न द क 0 इन द न म नद ड म फ ट ब ठत ह । f (-8) = 0larr "प र ण न य नतम" f (0) = 64larr "प र ण अध कतम" ग र फ {64-x ^ 2 [-8, 0, -2, 66]} अधिक पढ़ें »

F (x)> 0. अध कतम f (x) isf (0) = 1. x- अक ष द न द श ओ म f (x) क ल ए स पर श न म ख ह । f (x)> 0. फ क शन न यम क उपय ग करत ह ए, y '= - 2xe ^ (- x ^ 2) = 0, x = 0. y' '= - 2e ^ (- x ^ 2) -2x (- 2x) e ^ (- x ^ 2) = - 2, x = 0. पर x = 0, y '= 0 और y' '<0. त , f (0) = 1 f (x) क ल ए अध कतम ह ), ज स ज र रत, । 1 म [-.5, ए], ए> 1. एक स = 0 द न द श ओ म एफ (एक स) क ल ए स पर श न म ख ह । ज स क , xto + -oo, f (x) to0 द लचस प ब त यह ह क y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) क ग र फ स क ल क य गय ह (1 य न ट = 1 / sqrt (2 pi)) स म न य प र ब यर कर व स म न य स भ व यत व तरण क ल ए, म ध य = 0 और म नक व चलन = 1 / sqrt 2 अधिक पढ़ें »

X = 8 पर -512 क प र ण न य नतम और x = 1/16 म 1/32 क एक अध कतम अध कतम जब एक अ तर ल पर एक स ट र म क पत चलत ह , त द स थ न ह सकत ह : एक महत वप र ण म ल य पर, य एक अ त म ब द पर अ तर ल क । महत वप र ण म न क ख जन क ल ए, फ क शन क व य त पन न क ढ ढ और इस 0 क बर बर स ट कर । च क f (x) = - 8x ^ 2 + x, प वर न यम क म ध यम स हम ज नत ह क f '(x) = - 16x + 1। यह 0 क बर बर स ट करन हम x = 1/16 पर एक महत वप र ण म न क स थ छ ड द त ह । इस प रक र, स भ व त म क स म और म न म क ल ए हम र स थ न x = -4, x = 1/16 और x = 8 पर ह । उनक प रत य क फ क शन म न क पत लग ए : f (-4) = - 8 (-4) ^ 2-4 = ul (-132) f (1/16) = - 8 (1/16) ^ 2 + 1/16 = -1 / 32 + 1/16 = अधिक पढ़ें »

X = -3 य x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 e ^ x (x + 3) (x + 1) = 0 e ^ x = 0 य x + 3 = 0 य x + 1 = 0 स भव नह , x = -3 य x = -1 f ( -3) = ई ^ -3 (9-6 + 1) = 0.199-> अध कतम च (-1) = ई ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> म नट अधिक पढ़ें »

एक सर म एक स = 2 पर ह ; f '(x) = 0 f' (x) = 2x -4 = 0 क हल करक प र प त क य गय ; ग र फ पर एक नज र ड ल इसस मदद म ल ग । ग र फ {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} x क ल ए हल। आप आमत र पर एक सट र म ख जन क ल ए पहल व य त पन न और द सर व य त पन न प ए ग , ल क न इस म मल म यह त च छ ह पहल व य त पन न ख ज । क य कर? आपक इसक उत तर द न म सक षम ह न च ह ए f (x) = x ^ 2 - 4x + 3; f '(x) = 2x -4; f '' = 2 स थ र क अब f (x) = 0 स ट कर और ==> x = 2 क ल ए हल कर अधिक पढ़ें »

नक र त मक ग णनख डन: f (x) = - [प प ^ 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2))] उस प प क स मरण कर ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1: f x) = - 1 f एक स थ र फ क शन ह । इसक क ई र श त द र एक स ट र म नह ह और 0 और 2pi क ब च x क सभ म ल य क ल ए -1 ह । अधिक पढ़ें »

च क f (x) हर जगह भ न न ह , बस जह f '(x) = 0 f' (x) = sin (x) -cos (x) = 0 क हल कर : sin (x) = cos (x) अब, य त ख ज य न ट सर कल क उपय ग कर य द न क र य क एक ग र फ क स क च कर त क व न र ध र त कर सक क व कह ह : अ तर ल [0,2pi] पर, द सम ध न ह : x = pi / 4 (न य नतम) य (5pi) / 4 (अध कतम) आश यह सह यत करत ह अधिक पढ़ें »

न य नतम f (9) ह , और अध कतम f (-4) ह । f '(x) = 2x-192, इसल ए च न गए अ तर ल म f क ल ए क ई महत वप र ण स ख य नह ह । इसल ए, न य नतम और अध कतम सम पन ब द ओ पर ह त ह । f (-4) = 16 + 192 (4) +8 स पष ट र प स एक सक र त मक स ख य ह और f (9) = 81-192 (9) +4 स पष ट र प स नक र त मक ह । त , न य नतम f (9) ह , और अध कतम f (-4) ह । अधिक पढ़ें »

(३,२) न य नतम ह । (1,6) और (6,11) म क स म ह । स प क ष व ल पन तब ह त ह जब f '(x) = 0। वह ह , जब 2x-6 = 0। जब एक स = 3। यह ज चन क ल ए क x = 3 एक स प क ष न य नतम य अध कतम ह , हम द खत ह क f '' (3)> 0 और इसल ए => x = 3 एक स प क ष न य नतम ह , अर थ त (3, f (3)) = (3) , 2) एक स प क ष न य नतम ह और यह भ एक प र ण न य नतम ह क य क यह एक द व घ त क र य ह । च क f (1) = 6 और f (6) = 11 क त त पर य यह ह क (1,6) और (6,11) अ तर ल [1,6] पर प र ण अध कतम ह त ह । ग र फ {x ^ 2-6x + 11 [-3.58, 21.73, -0.37, 12.29]} अधिक पढ़ें »

स प क ष अध कतम (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) पहल व य त पन न ख ज : f (x) '= -2x + 5 महत वप र ण स ख य (s): f' (x) = 0 ज ञ त कर ; x = 5/2 यह द खन क ल ए 2 व य त पन न पर क षण क उपय ग कर क क य महत वप र ण स ख य एक स प क ष अध कतम ह । य र श त द र म नट: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; स प क ष अध कतम। x = 5/2 पर अध कतम क y- म न ज ञ त कर : f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 स प क ष अध कतम (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) अधिक पढ़ें »

फ क शन म x = 4 ग र फ {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} द य गय ह - y = x ^ 2-8x + 12 ड ई / dx = 2x-8 ड ई / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 at x = 4; ड ई / ड एक स = 0; (ड ^ 2y) / (ड एक स ^ 2)> 0 इसल ए फ क शन म x = 4 पर न य नतम ह अधिक पढ़ें »

द ए गए फ क शन हम श कम ह रह ह और इसल ए न त अध कतम और न ह न य नतम ह फ क शन क व य त पन न y '= (2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) / (x ^ 2-3x) ^ ह 2 = = (रद द कर (2x ^ 3) -6x ^ 2cancel (-2x ^ 3) + 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = (- 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 और y '<0 AA x in [4; 9] द ए गए फ क शन क फ क शन हम श घटत ह और इसल ए न त अध कतम और न ह न य नतम ग र फ {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0.78, 17 ह , 4.795, 13.685]} अधिक पढ़ें »

हम र प स x = 0 पर एक म न म ह और x = 3 पर व भक त क एक ब द ह । एक अध कतम एक उच च ब द ह ज सक ल ए एक फ क शन बढ त ह और फ र स ग रत ह । ज स स पर शर ख क ढल न य उस ब द पर व य त पन न क म न श न य ह ग । इसक अल व , ज स क म क स म क ब ई ओर स पर शर ख ऊपर क ओर झ क ह ग , फ र चपट और फ र न च क ओर ढल न ह ग , स पर शर ख क ढल न लग त र कम ह त ज एग , य न द व त य व य त पन न क म न ऋण त मक ह ग । द सर ओर एक म न म एक कम ब द ह ज सक ल ए एक फ क शन ग रत ह और फ र फ र स बढ ज त ह । ज स क म ज म भ स पर शर ख य व य त पन न क म न श न य ह ग । ल क न, ज स क म न म क ब ई ओर क स पर शर ख न च क ओर झ क ह ई ह ग , फ र चपट और फ र ऊपर क ओर ढल न ह ग , स पर शर ख क ढल न लग त र बढ अधिक पढ़ें »

न य नतम: f (-2) = 1 अध कतम: f (+2) = 9 चरण: द ए गए ड म न क सम पन ब द ओ क म ल य कन कर f (-2) = (- 2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = र ग (ल ल) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = र ग (ल ल) (9) क स भ महत वप र ण ब द पर फ क शन क म ल य कन कर ड म न। ऐस करन क ल ए ड म न क भ तर ब द (ओ ) क ख ज जह f '(x) = 0 f' (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) " य "x = -sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~~ र ग (ल ल) (3.9) (और, नह , म न ह थ स यह पत नह लग य ) f (-sqrt (2) /3))~color(red)(~6.1) न य नतम {र ग (ल ल) (1, 9, 3.9, 6.1)} = 1 पर x = -2 अध कतम {र ग (ल ल) (1,9,3.9) , 6.1)} = 9 पर x = + 2 यह सत य पन उद द श य अधिक पढ़ें »

फ क शन क चरम ह (4.5, -0.25) f (x) = (x-4) (x-5) क f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- स फ र स ल ख ज सकत ह । 9x + 20। यद आप फ क शन क व य त पन न करत ह , त आप इस सम प त कर द ग : f '(x) = 2x - 9. यद आप इन ज स क र य क व य त पन न नह करत ह , त व वरण क और न च द ख । आप ज नन च हत ह क f '(x) = 0 कह ह , क य क यह ग र ड ए ट = 0. प ट f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5 फ र x क यह म न म ल क र य म लग ए । f (4.5) = (4.5 - 4) (4.5-5) f (4.5) = 0.5 * (-0.5) f (4.5) = -0.25 इन प रक र क क र य क व य त पत त क ल ए क र च क र स: ब स क स थ घ त क क ग ण कर स ख य , और घ त क क घट कर 1. उद हरण: f (x) = 3x ^ 3 - 2x ^ 2 - 2x + 3 f &# अधिक पढ़ें »

अ तर ल पर f (x) क महत वप र ण म न ज ञ त कर [0,5]। f '(x) = ((x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = (x) ^ 2 + 9-2x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f '(x) = - (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = 0 जब x = + - 3। f '(x) कभ अपर भ ष त नह ह । एक स ट र म क ख जन क ल ए, अ तर ल क सम पन ब द और अ तर ल क अ दर क स भ महत वप र ण स ख य क f (x) म प लग कर , ज इस स थ त म , क वल 3. f (0) = 0larr "न रप क ष न य नतम" f (3) = ह 1 / 6larr "प र ण अध कतम" f (5) = 5/36 एक ग र फ क ज च कर : ग र फ {x / (x ^ 2 + 9) [-0.02, 5, -0.02, 0.2]} अधिक पढ़ें »

क ई प र ण एक स ट र म नह ह , और स प क ष एक स ट र म क अस त त व आपक स प क ष एक स ट र म क पर भ ष पर न र भर करत ह । f (x) = x / (x-2) द ई ओर स xrarr2 क र प म ब ध ब न बढ त ह । वह ह : lim_ (xrarr2 ^ +) f (x) = oo त , फ क शन क क ई अध कतम अध कतम नह ह [-5,5] ब ई ओर स xrarr2 क र प म ब ध य क ए ब न f घट ज त ह , इसल ए - -5 पर क ई प र ण न य नतम नह ह , 5]। अब, f '(x) = (-2) / (x-2) ^ 2 हम श ऋण त मक ह त ह , इसल ए, ड म न क [-5,2] uu (2,5) पर ल ज न स फ क शन कम ह ज त ह [- 5,2) और (2,5] पर। यह बत त ह क f (-5) ड म न म क वल x पर व च र करन क ल ए f क सबस बड म ल य ह । यह अध कतम एकतरफ स प क ष अध कतम ह । पथर क सभ उपच र नह । एक पक ष य स प क अधिक पढ़ें »

X = + - pi / 4 म x क ल ए [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4 g (x) = -2sin (2x) +4 g क व ल पन क ल ए x), g '(x) = 0 g' (x) = -4cos (2x) g '(x) = 0 -4cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4 म x क ल ए [-pi / 2, pi / 2] अधिक पढ़ें »

एक सटर म x = + - 1 और x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5 -12x ^ 3 + x h '(x) = 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1 फ क टर इज ग H पर ह '(x) और इस श न य क बर बर करत ह ए, यह (35x ^ 2 -1) (x ^ 2-1) = 0 महत वप र ण ब द ह इसल ए + -1, + -sqrt (1/35) h' '( x) = 140x ^ 3-72x x = -1 क ल ए, h '' (x) = -68, इसल ए x = -1 क ल ए x = 1, h '' (x) = 68 क ल ए एक अध कतम ह ग , इसल ए x = sqrt (1/35), h '' (x) = 0.6761- 12.1702 = - 11.4941 क ल ए x = 1 पर एक म न म ह ग , इसल ए x = # -sqrt (1) क ल ए इस ब द पर एक अध कतम ह ग / 35), h '' (x) = -0.6761 + 12.1702 = 11.4941, इसल ए इस ब द पर एक म न म ह ग । अधिक पढ़ें »

म न म (1/4, -27 / 256) और म क स म (1,0) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x ड ई / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x ह -1 स थ र ब द ओ क ल ए, ड ई / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0 (x-1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) ^ 2 (4x-) 1) = 0 x = 1 य x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 पर क षण x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0 इसल ए, स भव क ष त ज ब द inflexion (म ) यह प रश न, आपक यह पत करन क आवश यकत नह ह क क य यह एक अन च छ क ब द ह ) ट स ट ग x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 इसल ए, x = 1/4 पर न य नतम और अवतल। अब, एक स-इ टरस प ट स क ख जत ह ए, y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x ^ 2-1) (x-3) = 0 x = 0, + - 1,3 कर y- इ टरस प ट स ढ ढन , x = 0 y = 0 (0,0) ग र फ {x अधिक पढ़ें »

उत तर ह : y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4। यह क रण ह क : y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x-2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '= ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x -sinx) + 2cosx) x ^ 3- ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = (((x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / एक स ^ 4। अधिक पढ़ें »

हम f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2) क फ र स ल खत ह , ल क न lim_ (x-> oo) f (x) = oo इसल ए क ई व श व क व लम ब नह ह । स थ न य व ल पन क ल ए हम उन ब द ओ क प त ह जह (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) और x_2 = -sqrt (5/7) इसल ए हम र प स वह स थ न य अध कतम x = -sqrt (5/7) f (-sqrt (5/7) ह ) = 100/343 * sqrt (5/7) और स थ न य न य नतम x = sqrt (5/7) f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) अधिक पढ़ें »

स थ न य एक सट र म (0,6) और (1 / 3,158 / 27) ह और व श व क एक सट र म + -oo हम उपय ग करत ह (x ^ n) '= nx ^ (n-1) आइए हम पहल व य त पन न f ख ज ' x) = 24x ^ 2-8x स थ न य एक सट र म क ल ए '(x) = 0 त 24x ^ 2-8x = 8x (3x-1) = 0 x = 0 और x = 1/3 त चल स क त क एक च र ट करत ह (सफ द) (आआआआ) -क कल र (सफ द) (आआआआ) ० कल र (सफ द) (आआआआ) १ / ३ र ग (सफ द) (आआआआआ) + ऊ च ’(x) र ग (सफ द) (आआआआ) + र ग (सफ द) आआआआ) -क ल र (सफ द) (आआआआआ) + च (x) र ग (सफ द) (आआआआआआ) उररक ल र (सफ द) (आआआआआ) ड र क ल लर (सफ द) (आआआआ) उर ल त ब द पर (०६) हम एक स थ न य ह अध कतम और पर (१ / ३,१५ / / २ f) हम र प स एक ब द क एक ब द ह inflexion f ’’ (x) = 48x-8 4 अधिक पढ़ें »

F (x) क प र ण न य नतम न य नतम (-1) 0 ह f (x) म एक स थ न य अध कतम (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) ह f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [उत प द न यम] = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) न रप क ष य स थ न य व ल पन क ल ए: f '(x) = 0 वह जगह ह : e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 च क e ^ x> 0 forall x in RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) ( x-1) = 0 -> x = -3 य -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [उत प द न यम] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) फ र स , e ^ x> 0 क ब द स हम यह पत लग न क आवश यकत ह क ब द क य अध कतम य न य नतम ह य नह यह न र ध र त करन क ल ए हम र एक स ट र म ब द ओ पर (x ^ 2 + 6x + 7) अधिक पढ़ें »

(0,0) एक स थ न य न य नतम ह और (4 / 3,32 / 27) एक स थ न य अध कतम ह । क ई व श व क एक स ट र म नह ह । सबस पहल अलग-अलग आस न बन न क ल ए क ष ठक क ग ण कर और फ क शन क y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3 म प र प त कर । अब स थ न य य र श त द र एक स ट र म य टर न ग प इ ट तब ह त ह जब व य त पन न f '(x) = 0, य न जब 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 य x = 4/3। इसल ए f (0) = 0 (2-0) = 0 और f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27। च क द सर व य त पन न f '' (x) = 4-6x म f '' (0) = 4> 0 और f '' (4/3) = - 4 <0 क म न ह , इसक त त पर य ह क (0,0) ) एक स थ न य न य नतम ह और (4 / 3,32 / 27) एक स थ न य अध कतम ह । व श व क अधिक पढ़ें »

स थ न य: x = -2, 0, 2 ग ल बल: (-2, -32), (2, 32) एक सट र म क ख जन क ल ए, आपक बस ऐस ब द म लत ह जह f '(x) = 0 य अपर भ ष त ह । त : d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 इस प वर र ल क समस य बन न क ल ए, हम 48 / x क 48x ^ -1 क र प म फ र स ल ख ग । अब: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 अब, हम स र फ यह व य त पन न ल त ह । हम स थ सम प त ह त ह : 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 ऋण त मक घ त क स फ र भ न न म ज रह ह : 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 हम पहल स ह द ख सकत ह क हम र एक सट र म कह ह ग : f '(x ) x = 0 पर अपर भ ष त ह , क य क 48 / x ^ 2 ह । इसल ए, यह हम र व ल प त म स एक ह । अगल , हम द सर क ल ए हल करत ह । श र करन क ल ए, हम द न पक ष क x ^ 2 स ग ण कर अधिक पढ़ें »

फ क शन क क ई व श व क एक स ट र म नह ह । इसम f ((- 4-sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 और स थ न य न य नतम f ((- 4 + sqrt31) / 3) = (308-62xq31) / 27 क अध कतम स थ न य स म ह । f (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = - oo इसल ए f क क ई व श व क न य नतम नह ह । lim_ (xrarroo) f (x) = oo इसल ए f क क ई व श व क अध कतम नह ह । f '(x) = 3x ^ 2 + 8x-5 कभ अपर भ ष त नह ह त ह और 0 पर x = (- 4 + -sqrt31) / 3 स ख य ओ क ल ए 0 (सक र त मक और नक र त मक द न ) स द र ह , f' (x) धन त मक ह । (-4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3), 3f '(x) म स ख य ओ क ल ए ऋण त मक ह । F '(x) क च ह न + स - म बदल ज त ह क य क हम प छल x अधिक पढ़ें »

स थ न य एक स ट र म : x = -1/3 और x = 1 ग ल बल एक सट र म : x = + - इन फ ट ल कल एक स ट र म , ज स म क स म और म न म , य कभ -कभ महत वप र ण ब द भ कह ज त ह , बस व ह ध वन करत ह : जब फ क शन क स क ष प त अध कतम तक पह च ह त ह य एक स क ष प त न य नतम। उन ह स थ न य कह ज त ह क य क जब आप महत वप र ण ब द ओ क तल श म ह त ह , त आप आमत र पर क वल इस ब त क परव ह करत ह क ब द क तत क ल पड स म अध कतम क य मतलब ह । स थ न य महत वप र ण ब द ओ क पत लग न बह त सरल ह । जब फ क शन अपर वर त त ह त ह , त ढ ढ और फ क शन अपर वर त त ह त ह जब - आपन यह अन म न लग य ह - व य त पन न श न य क बर बर ह । प वर र ल क एक सरल अन प रय ग हम f '(x), f' (x) = 3x ^ 2 -2x - अधिक पढ़ें »

At (2, -9) एक म न म ह । यह द खत ह ए - y = x ^ 2-4x-5 पहल द व य त पन न ड ई / dx = 2x-4 क पत लग ए म क स म और म न म क द सर व य त पन न द व र न र ध र त क य ज न ह । (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 ड ई / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 x = 2 पर; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 च क द सर व य त पन न एक स अध क ह । At (2, -9) एक म न म ह । अधिक पढ़ें »

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x म x = 1 क ल ए एक स थ न य न य नतम और x = 3 क ल ए एक स थ न य अध कतम ह : f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x फ क शन क आरआर क सभ म पर भ ष त क य गय ह x ^ 2 + 3> 0 AA x हम उन महत वप र ण ब द ओ क पहच न कर सकत ह जह पहल व य त पन न श न य: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 इसल ए महत वप र ण ब द ह : x_1 = 1 और x_2 = 3 च क भ जक हम श धन त मक ह त ह , f '(x) क च ह न' 'च न ह क व पर त ह । अ श (x ^ 2-4x + 3) अब हम ज नत ह क सक र त मक अग रण ग ण क क स थ एक द सर क रम बह पद क ब च क अ तर ल क ब हर स अधिक पढ़ें »

क पय न च द गई व य ख य द ख क फ क शन f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 आ श क ड र व ट व ह (delf) / (ड ल क स) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 ल ट (delf) / (ड ल क स) = 0 और (delf) / (dely) = 0 फ र, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del) ^ 2f) / (delxdely) = 1 (ड ल ^ 2 एफ) / (ड ल ड लएक स) = 1 ह स स यन म ट र क स एचएफ (एक स, व ई) = (((ड ल ^ 2 एफ) / (ड लएक स 2), (ड ल ^ 2 एफ) ह / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) न र ध रक D (x, y) = det (H (x, y)) = ह = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 इसल ए, क ई क अधिक पढ़ें »

स थ न य अध कतम 80 (x = -1) और स थ न य न य नतम -80 (x = 1 पर। f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x) ^ 2 (x ^ 2 - 1) महत वप र ण स ख य ए ह : -1, 0, और 1 स 'च क स क त + स - म बदल ज त ह क य क हम x = -1 प स करत ह , इसल ए f (-1) = 80 एक स थ न य अध कतम ह (च क f व षम ह , हम त र त यह न ष कर ष न क ल सकत ह क f (1) = - 80 एक स प क ष न य नतम ह और f (0) स थ न य एक सट र म नह ह ।) x '0 प स ह न पर f' क स क त नह बदलत ह । इसल ए f (0) ल कल एक सट र म नह ह । f - 'क + स + क र प म हम x = 1 प स करत ह , क स क त ह , इसल ए f (1) = -80 एक स थ न य न य नतम ह । अधिक पढ़ें »

ल कल म अध कतम 13 और 1 क स थ न य न य नतम 0 पर। F क ड म न RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ ह (13/15) f '(x) = 0 at x = -1 और f' (x) x = 0. पर म ज द नह ह । द न -1 और 9 f क ड म न म ह , इसल ए व द न महत वप र ण स ख य ए ह । पहल व य त पन न पर क षण: पर (-oo, -1), f '(x)> 0 (उद हरण क ल ए x = -2 ^ 15) पर (-1,0), f' (x) <0 (उद हरण क ल ए) x = -1 / 2 ^ 15) इसल ए f (-1) = 13 एक स थ न य अध कतम ह । पर (0, oo), f '(x)> 0 (क स भ बड सक र त मक x क उपय ग कर ) त f (0) = 0 एक स थ न य न य नतम ह । अधिक पढ़ें »

RR ^ n म f (x) क ल ए क ई स थ न य चरम स म नह ह । हम सबस पहल f (x) क व य त पन न ल न ह ग । dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 त , f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 स थ न य चरम स म क हल करन क ल ए, हम व य त पन न क 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 पर स ट करन ह ग , अब हमन एक म र ह स कट। यह ह क x inCC इसल ए स थ न य चरम स म जट ल ह । यह तब ह त ह जब हम घन अभ व यक त य म श र करत ह , यह ह क जट ल श न य पहल व य त पन न पर क षण म ह सकत ह । इस स थ त म , f (x) क ल ए RR ^ n म क ई स थ न य चरम स म नह ह । अधिक पढ़ें »

अध कतम च f (5/2) = 69.25 ह । न य नतम च f (-3/2) = 11.25 ह । d / dx (f (x)) = - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0, जब x = 5/2 और -3/2 द सर व य त पन न ह -12x + 12 = 12 (1-x) <0 पर x = 5/2 और> 0 पर x = 3/2। त , f (5/2) स थ न य ह (पर म त x क ल ए) अध कतम और f (-3/2) स थ न य ह (पर म त x क ल ए) न य नतम। ज स xto oo, fto -oo और as xto-oo, fto + oo ।। अधिक पढ़ें »

स थ न य अध कतम x = -2 स थ न य म नट x = 4 f (x) = 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24 f '(x) = 6x ^ 2 - 12x - 48 = 6 (x ^ 2 - 2x) - 8) = 6 (x-4) (x + 2) क त त पर य f '= 0 ह जब x = -2, 4 f' '= 12 (x - 1) f' '(- 2) = -36 <0 अर थ त max f '' (4) = 36> 0 अर थ त न य नतम व श व क अध कतम म नट x x 3 अवध तक स म त रहत ह इसल ए {x to pm oo} f (x) = pm oo इस इस तरह द खन च ह ए .. अधिक पढ़ें »

X = {- 3,0,3} स थ न य एक सट र म तब ह त ह जब भ ढल न 0 क बर बर ह त ह , इसल ए हम पहल फ क शन क व य त पन न क ख जन ह ग , इस 0 क बर बर स ट करन ह ग , और उसक ब द x क ल ए हल करन ह ग त क सभ x म ल सक । स थ न य एक स ट र म । प वर-ड उन न यम क उपय ग करक हम प सकत ह क f '(x) = 8x ^ 3-72x। अब इस 0. 8x ^ 3-72x = 0 क बर बर स ट कर । हल करन क ल ए, 8x (x ^ 2-9) = 0 प र प त करन क ल ए एक 8x क ग णनखण ड कर , फ र 8x (x + 3) (x-) प र प त करन क ल ए अपन द क रक म x ^ 2-9 क द वर ग क अ तर क न यम क उपय ग कर । 3) 0 =। अब इनम स प रत य क क अलग स 0 क बर बर स ट कर क य क प र अभ व यक त 0 तब ह ग जब क ई भ शब द 0. ह । यह आपक 3 सम करण द त ह : 8x = 0, x + 3 = अधिक पढ़ें »

एकम त र एक सट र म x = 0.90322 ह ..., एक फ क शन न य नतम ल क न आपक वह पह चन क ल ए एक घन सम करण क हल करन ह ग और जव ब ब ल क ल 'अच छ ' नह ह - क य आप स न श च त ह क प रश न सह ढ ग स ट इप क य गय ह ? म न न च प र तरह स द ख ए गए व श ल षण क म त र म ज न क ब न उत तर क द ष ट क ण क ल ए स झ व भ श म ल क ए ह । 1. म नक द ष ट क ण हम एक श रमस ध य द श म इ ग त करत ह सबस पहल व य त पन न क गणन कर : f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x so (श र खल और भ गफल न यम द व र ) f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 फ र इस बर बर 0 पर स ट कर और x: 32x-24-4 / x ^ क ल ए हल कर । 2 = 0 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 हम अधिक पढ़ें »

F (x) = a (x-2) (x-3) (xb) स थ न य एक स ट र म ओब (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = ० अब, यद एक ० हम ० x = १/३ (५ + b pm sqrt [if - ५ b + b ^ २]) ह , ल क न] - ५ b + b ^ २ gt ० (जट ल जड ह ) त f ( x) क प स स थ न य न य नतम और स थ न य अध कतम र स त ह । म न ल न ne ० अधिक पढ़ें »

1. पर एक स थ न य न य नतम 0 ह (ज क व श व क भ ह ।) और एक स थ न य अध कतम 4 / e ^ 2 पर e ^ 2 ह । F (x) = (lnx) ^ 2 / x क ल ए, पहल ध य न द क f क ड म न सक र त मक व स तव क स ख य ह , (0, oo)। फ र f '(x) = ([2 (lnx) (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1]) / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x' 2 ख ज । f 'x = 0 पर अपर भ ष त ह ज f क ड म न म नह ह , इसल ए यह f क ल ए महत वप र ण स ख य नह ह । f '(x) = 0 जह lnx = 0 य 2-lnx = 0 x = 1 य x = e ^ 2 अ तर ल क पर क षण कर (0,1), (1, e ^ 2), और (e ^ 2, oo) )। (पर क षण स ख य ओ क ल ए, म र स झ व ह क e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 - 1 क य द कर = e ^ 0 और e x बढ त ज रह ह ।) हम प त ह क f 'नक र त मक स सक र अधिक पढ़ें »

च (एक स) क व ल प तत ह : अध कतम 2 पर x = 0 क 0 x 0 पर न य नतम = 2, -2 क स भ क र य क व ल प तत क ख जन क ल ए, आप न म नल ख त क र य करत ह : 1) फ क शन क अलग कर 2) व य त पन न स ट कर 0 3 क बर बर) अज ञ त चर 4 क ल ए हल कर ) सम ध न क f (x) (व य त पन न नह ) म प रत स थ प त कर f (x) = sqrt (4-x ^ 2) क अपन उद हरण म : f (x) = (4) -x ^ 2) ^ (1/2) 1) फ क शन क अलग कर : च न र ल **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) सरल करण: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) व य त पन न क 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 /) क बर बर स ट कर 2) अब, च क यह एक उत प द ह , आप प रत य क भ ग क 0 क बर बर स ट कर सकत ह और हल कर सकत ह : 3) अज ञ त चर क ल ए ह अधिक पढ़ें »

फ क शन क क ई स थ न य एक स ट र म नह ह । f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 कभ अपर भ ष त नह ह और क वल x = -1 पर 0 ह । त , क वल महत वप र ण स ख य -1 ह । च क f '(x) -1 क द न ओर धन त मक ह , f म न त न य नतम और न ह अध कतम -1 ह । अधिक पढ़ें »